Линейная алгебра Примеры

- 3 + 4 i

$- 3 + 4 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от

(a, b)

$(a, b)$ до начала координат, используя формулу

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Этап 2

Упростим

\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}

$\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем

- 3

$- 3$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + 4^{2}}

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Этап 2.2

Возведем

4

$4$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + 16}

$r = \sqrt{9 + 16}$

Этап 2.3

Добавим

9

$9$ и

16

$16$ .

r = \sqrt{25}

$r = \sqrt{25}$

Этап 2.4

Перепишем

25

$25$ в виде

5^{2}

$5^{2}$ .

r = \sqrt{5^{2}}

$r = \sqrt{5^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

r = 5

$r = 5$

r = 5

$r = 5$

Этап 3

Вычислим угол приведения

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{4}{- 3} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Этап 4

Упростим

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{4}{- 3} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ - \frac{4}{3} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Этап 4.2

- \frac{4}{3}

$- \frac{4}{3}$ приблизительно равно

- 1. ¯ 3

$- 1.\overline{3}$ . Это отрицательное число, поэтому обратим знак

- \frac{4}{3}

$- \frac{4}{3}$ и вычтем абсолютное значение.

θˆ = arctan (\frac{4}{3})

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Этап 4.3

Найдем значение

arctan (\frac{4}{3})

$\arctan (\frac{4}{3})$ .

θˆ = 0.92729521

$θ̂ = 0.92729521$

θˆ = 0.92729521

$θ̂ = 0.92729521$

Этап 5

Точка находится во втором квадранте, поскольку

x

$x$ принимает отрицательные значения, а

y

$y$ — положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант

2

$2$

Этап 6

(a, b)

$(a, b)$ находится во втором квадранте.

θ = π - θˆ

$θ = π - θ̂$

θ = π - 0.92729521

$θ = π - 0.92729521$

Этап 7

Упростим

θ

$θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим на десятичную аппроксимацию.

3.14159265 - 0.92729521

$3.14159265 - 0.92729521$

Этап 7.2

Вычтем

0.92729521

$0.92729521$ из

3.14159265

$3.14159265$ .

2.21429743

$2.21429743$

2.21429743

$2.21429743$

Этап 8

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 9

Подставим

$r$ ,

$n$ и

$θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим на десятичную аппроксимацию.

${(5)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{2}$

Этап 9.2

Вычтем

$0.92729521$ из

$3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{2}$

Этап 9.3

Объединим

${(5)}^{\frac{1}{2}}$ и

$\frac{2.21429743 + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Этап 9.4

Объединим

$c$ и

$\frac{{(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Этап 9.5

Объединим

$i$ и

$\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.6

Объединим

$s$ и

$\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))))}{2}$

Этап 9.7

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))))}{2}$

Этап 9.7.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)))}{2}$

Этап 9.7.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{2}}) (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Этап 9.7.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k))}{2}$

Этап 9.7.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{2}}) (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Этап 9.7.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Этап 9.7.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{2}} (2.21429743 + 2 π k)}{2}$

Этап 10

Подставим

$k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.3

Вычтем

$0.92729521$ из

$3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{2})$

Этап 10.4

Умножим

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим

$0$ на

$2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{2})$

Этап 10.4.2

Умножим

$0$ на

$π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{2})$

Этап 10.5

Добавим

$2.21429743$ и

$0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743}{2})$

Этап 10.6

Разделим

$2.21429743$ на

$2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 1.10714871$

Этап 10.7

Умножим

$5^{\frac{1}{2}} c i s$ на

$1.10714871$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (1.10714871)$

Этап 11

Подставим

$k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.3

Вычтем

$0.92729521$ из

$3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{2})$

Этап 11.4

Умножим

$2$ на

$1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{2})$

Этап 11.5

Добавим

$2.21429743$ и

$2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8.49748274}{2})$

Этап 11.6

Разделим

$8.49748274$ на

$2$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot 4.24874137$

Этап 11.7

Умножим

$5^{\frac{1}{2}} c i s$ на

$4.24874137$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (4.24874137)$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (1.10714871)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{2}} c i s \cdot (4.24874137)$