Линейная алгебра Примеры

4 i

$4 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от

(a, b)

$(a, b)$ до начала координат, используя формулу

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$r = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

Этап 2

Упростим

\sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$\sqrt{0^{2} + 4^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведение

0

$0$ в любую положительную степень дает

0

$0$ .

r = \sqrt{0 + 4^{2}}

$r = \sqrt{0 + 4^{2}}$

Этап 2.2

Возведем

4

$4$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{0 + 16}

$r = \sqrt{0 + 16}$

Этап 2.3

Добавим

0

$0$ и

16

$16$ .

r = \sqrt{16}

$r = \sqrt{16}$

Этап 2.4

Перепишем

16

$16$ в виде

4^{2}

$4^{2}$ .

r = \sqrt{4^{2}}

$r = \sqrt{4^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

r = 4

$r = 4$

r = 4

$r = 4$

Этап 3

Вычислим угол приведения

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{4}{0} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{0} |)$

Этап 4

Уравнение содержит дробь, знаменатель которой может обращаться в ноль.

Неопределенные

Этап 5

Поскольку ордината положительна, а абсцисса равна

0

$0$ , эта точка расположена на оси Y между первым и четвертым квадрантами. Квадранты маркируются против часовой стрелки, начиная с правого верхнего.

Между квадрантами

1

$1$ и

2

$2$

Этап 6

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

{(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

k = 0, 1, \dots, n - 1

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 7

Подставим

r

$r$ ,

n

$n$ и

θ

$θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим

{(4)}^{\frac{1}{2}}

${(4)}^{\frac{1}{2}}$ и

\frac{θ + 2 π k}{2}

$\frac{θ + 2 π k}{2}$ .

c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$c i s \frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Этап 7.2

Объединим

c

$c$ и

\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{{(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$ .

i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$i s \frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Этап 7.3

Объединим

i

$i$ и

\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$ .

s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$s \frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Этап 7.4

Объединим

s

$s$ и

\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$ .

\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c ({(4)}^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Этап 7.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Избавимся от скобок.

\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}

$\frac{s (i (c (4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))))}{2}$

Этап 7.5.2

Избавимся от скобок.

\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)))}{2}$

Этап 7.5.3

Избавимся от скобок.

\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i (c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k))}{2}$

Этап 7.5.4

Избавимся от скобок.

\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k))}{2}$

Этап 7.5.5

Избавимся от скобок.

\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c \cdot 4^{\frac{1}{2}}) (θ + 2 π k)}{2}$

Этап 7.5.6

Избавимся от скобок.

\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s (i c) \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Этап 7.5.7

Избавимся от скобок.

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}

$\frac{s i c \cdot 4^{\frac{1}{2}} (θ + 2 π k)}{2}$

Этап 8

Подставим

k = 0

$k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Этап 8.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Этап 8.3

Сократим общий множитель

2

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Этап 8.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Этап 8.4

Найдем экспоненту.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{2})$

Этап 8.5

Умножим

$2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим

$0$ на

$2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{2})$

Этап 8.5.2

Умножим

$0$ на

$π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

Этап 9

Подставим

$k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Этап 9.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Этап 9.4

Найдем экспоненту.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{2})$

Этап 9.5

Умножим

$2$ на

$1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$

Этап 10

Перечислим решения.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{2})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{2})$