Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 1

Найдем матрицу, обратную $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Обратную матрицу $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где $a d - b c$ является определителем.

Этап 1.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Этап 1.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Этап 1.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$3 - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 - 2$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$1$

Этап 1.3

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 1.4

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 1.5

Разделим $1$ на $1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 1.6

Умножим $1$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $27$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.2

Умножим $- 6$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.3

Умножим $- \frac{1}{3}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.4

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2

Умножим обе части на матрицу, обратную $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна $2 \times 2$ , а вторая — $2 \times 2$ .

Этап 3.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.2

Умножение единичной матрицы на матрицу $A$ дает исходную матрицу $A$ .

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим $[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Этап 3.3.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$