Линейная алгебра Примеры

[\begin{matrix} \frac{1}{9} & 6 \frac{1}{3} & 27 \end{matrix}] \cdot B = [\begin{matrix} - 10 & 7 - 48 & 30 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 1

Найдем матрицу, обратную

[\begin{matrix} \frac{1}{9} & 6 \frac{1}{3} & 27 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Обратную матрицу

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где

a d - b c

$a d - b c$ является определителем.

Этап 1.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Определитель матрицы

2 \times 2

$2 \times 2$ можно найти, используя формулу

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель

9

$9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Вынесем множитель

9

$9$ из

27

$27$ .

\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

$- \frac{1}{3}$ в числитель.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

Этап 1.2.2.1.2.2

Вынесем множитель

$3$ из

$6$ .

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

Этап 1.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Этап 1.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$3 - 1 \cdot 2$

Этап 1.2.2.1.3

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$3 - 2$

Этап 1.2.2.2

Вычтем

$2$ из

$3$ .

$1$

Этап 1.3

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 1.4

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 1.5

Разделим

$1$ на

$1$ .

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 1.6

Умножим

$1$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим

$27$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.2

Умножим

$- 6$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.3

Умножим

$- \frac{1}{3}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

Этап 1.7.4

Умножим

$\frac{1}{9}$ на

$1$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

Этап 2

Умножим обе части на матрицу, обратную

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна

$2 \times 2$ , а вторая —

$2 \times 2$ .

Этап 3.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.2

Умножение единичной матрицы на матрицу

$A$ дает исходную матрицу

$A$ .

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$2 \times 2$ , а вторая —

$2 \times 2$ .

Этап 3.3.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$