Линейная алгебра Примеры

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Этап 1

Найдем матрицу, обратную $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Обратную матрицу $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ , где $a d - b c$ является определителем.

Этап 1.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

Этап 1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Этап 1.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

Этап 1.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{5}$ в числитель.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

Этап 1.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

Этап 1.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

Этап 1.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$4 - 3 \cdot 2$

Этап 1.2.2.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$4 - 6$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 2$

Этап 1.3

Так как определитель отличен от нуля, существует обратная матрица.

Этап 1.4

Подставим известные значения в формулу для обратной матрицы.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Этап 1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

Этап 1.6

Умножим $- \frac{1}{2}$ на каждый элемент матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.1.2

Умножим $8$ на $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.2.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.2.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.3

Умножим $- 1$ на $- 5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.4

Умножим $- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.4.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.4.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{5}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

Этап 1.7.5.2

Вынесем множитель $2$ из $32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

Этап 1.7.5.3

Сократим общий множитель.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

Этап 1.7.5.4

Перепишем это выражение.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

Этап 1.7.6

Умножим $- 1$ на $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

Этап 2

Умножим обе части на матрицу, обратную $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Две матрицы можно перемножить тогда и только тогда, когда количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй матрице. В данном случае первая матрица равна $2 \times 2$ , а вторая — $2 \times 2$ .

Этап 3.1.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3.1.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3.2

Умножение единичной матрицы на матрицу $A$ дает исходную матрицу $A$ .

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

Этап 3.3

Умножим $[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Этап 3.3.2

Умножим каждую строку первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

Этап 3.3.3

Упростим каждый элемент матрицы путем перемножения всех выражений.

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$