Линейная алгебра Примеры

$5 x + 3 = 4 y$ , $y = 8 x - 2$

Этап 1

Перенесем все переменные в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$5 x + 3 - 4 y = 0$

$y = 8 x - 2$

Этап 1.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$5 x - 4 y = - 3$

$y = 8 x - 2$

Этап 1.3

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$5 x - 4 y = - 3$

$y - 8 x = - 2$

Этап 1.4

Изменим порядок $y$ и $- 8 x$ .

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

$5 x - 4 y = - 3$

$- 8 x + y = - 2$

Этап 2

Представим систему уравнений в матричном формате.

$[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$

Этап 3

Найдем определитель матрицы коэффициентов $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $[\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array}]$ в виде определителя.

$| \begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 8 & 1 \end{array} |$

Этап 3.2

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 1 - (- 8 \cdot - 4)$

Этап 3.3

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $5$ на $1$ .

$5 - (- 8 \cdot - 4)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $- (- 8 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$5 - 1 \cdot 32$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $- 1$ на $32$ .

$5 - 32$

Этап 3.3.2

Вычтем $32$ из $5$ .

$- 27$

$D = - 27$

Этап 4

Так как определитель не равен $0$ , эту систему можно решить с помощью метода Крамера.

Этап 5

Найдем значение $x$ методом Крамера, согласно которому $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим столбец $1$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам $x$ системы на $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 3 & - 4 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Этап 5.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 3 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 4)$

Этап 5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 - (- 2 \cdot - 4)$

Этап 5.2.2.1.2

Умножим $- (- 2 \cdot - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$- 3 - 1 \cdot 8$

Этап 5.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 3 - 8$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $8$ из $- 3$ .

$- 11$

$D_{x} = - 11$

Этап 5.3

Используем формулу для решения относительно $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Этап 5.4

Подставим в формуле $- 27$ вместо $D$ и $- 11$ вместо $D_{x}$ .

$x = \frac{- 11}{- 27}$

Этап 5.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{11}{27}$

Этап 6

Найдем значение $y$ методом Крамера, согласно которому $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим столбец $2$ матрицы коэффициентов, который соответствует коэффициентам $y$ системы на $[\begin{array}{c} - 3 \\ - 2 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 \\ - 8 & - 2 \end{array} |$

Этап 6.2

Найдем определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 2 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$- 10 - (- 8 \cdot - 3)$

Этап 6.2.2.1.2

Умножим $- (- 8 \cdot - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Умножим $- 8$ на $- 3$ .

$- 10 - 1 \cdot 24$

Этап 6.2.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $24$ .

$- 10 - 24$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $24$ из $- 10$ .

$- 34$

$D_{y} = - 34$

Этап 6.3

Используем формулу для решения относительно $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Этап 6.4

Подставим в формуле $- 27$ вместо $D$ и $- 34$ вместо $D_{y}$ .

$y = \frac{- 34}{- 27}$

Этап 6.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{34}{27}$

Этап 7

Приведем решение системы уравнений.

$x = \frac{11}{27}$

$y = \frac{34}{27}$