Линейная алгебра Примеры

$1 + i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Единица в любой степени равна единице.

$r = \sqrt{1 + 1^{2}}$

Этап 2.2

Единица в любой степени равна единице.

$r = \sqrt{1 + 1}$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $1$ .

$r = \sqrt{2}$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{1}{1} |)$

Этап 4

Упростим $\arctan (| \frac{1}{1} |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим $1$ на $1$ .

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

Этап 4.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$θ̂ = \arctan (1)$

Этап 4.3

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$θ̂ = \frac{π}{4}$

Этап 5

Точка расположена в первом квадранте, поскольку и $x$ , и $y$ принимают положительные значения. Квадранты обозначены в порядке против часовой стрелки, начиная с верхнего правого.

Квадрант $1$

Этап 6

$(a, b)$ находится в первом квадранте. $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

Этап 7

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 8

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим ${(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$

Этап 8.2

Объединим $c$ и $\frac{{(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$

Этап 8.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$

Этап 8.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(\sqrt{2})}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c ({\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{3}$

Этап 8.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{3}$

Этап 8.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Этап 8.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{3}$

Этап 8.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 8.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 8.5.8

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{3}$

Этап 9

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{3})$

Этап 9.2

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{3})$

Этап 9.2.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{3})$

Этап 9.3

Добавим $\frac{π}{4}$ и $0$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{3})$

Этап 9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 9.5

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 3})$

Этап 9.5.2

Умножим $4$ на $3$ .

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

Этап 10

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Избавимся от скобок.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{3})$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{3})$

Этап 10.3

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Этап 10.4

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 10.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 10.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{3})$

Этап 10.6.2

Добавим $π$ и $8 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{3})$

Этап 10.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 10.8

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9 π$ .

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 10.8.2

Сократим общий множитель.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 (3 π)}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 10.8.3

Перепишем это выражение.

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

Этап 11

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Избавимся от скобок.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (2)}{3})$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π}{3})$

Этап 11.3

Чтобы записать $4 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{3})$

Этап 11.4

Объединим $4 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 11.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 4}{4}}{3})$

Этап 11.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Умножим $4$ на $4$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{π + 16 π}{4}}{3})$

Этап 11.6.2

Добавим $π$ и $16 π$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{\frac{17 π}{4}}{3})$

Этап 11.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3})$

Этап 11.8

Умножим $\frac{17 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.8.1

Умножим $\frac{17 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{4 \cdot 3})$

Этап 11.8.2

Умножим $4$ на $3$ .

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$

Этап 12

Перечислим решения.

$k = 0 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{π}{12})$

$k = 1 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3 π}{4})$

$k = 2 : {\sqrt{2}}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{17 π}{12})$