Линейная алгебра Примеры

$- 8 i$

Этап 1

Вычислим расстояние от $(a, b)$ до начала координат, используя формулу $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$

Этап 2

Упростим $\sqrt{0^{2} + {(- 8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$r = \sqrt{0 + {(- 8)}^{2}}$

Этап 2.2

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{0 + 64}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $64$ .

$r = \sqrt{64}$

Этап 2.4

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 8$

Этап 3

Вычислим угол приведения $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 8}{0} |)$

Этап 4

Уравнение содержит дробь, знаменатель которой может обращаться в ноль.

Неопределенные

Этап 5

Since the y-coordinate is negative and the x-coordinate is $0$ , the point is located on y-axis between the third and fourth quadrants. The quadrants are labeled in counter-clockwise order, starting in the upper-right.

Между квадрантами $3$ и $4$

Этап 6

Используем формулу, чтобы найти корни комплексного числа.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Этап 7

Подставим $r$ , $n$ и $θ$ в формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим ${(8)}^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Этап 7.2

Объединим $c$ и $\frac{{(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Этап 7.3

Объединим $i$ и $\frac{c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Этап 7.4

Объединим $s$ и $\frac{i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(8)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Этап 7.5

Избавимся от скобок.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c (8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Этап 7.5.2

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Этап 7.5.3

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i (c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Этап 7.5.4

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Этап 7.5.5

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c \cdot 8^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Этап 7.5.6

Избавимся от скобок.

$\frac{s (i c) \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Этап 7.5.7

Избавимся от скобок.

$\frac{s i c \cdot 8^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Этап 8

Подставим $k = 0$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$k = 0 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Этап 8.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Этап 8.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 0 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Этап 8.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Этап 8.4

Найдем экспоненту.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Этап 8.5

Умножим $2 π (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $0$ на $2$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Этап 8.5.2

Умножим $0$ на $π$ .

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Этап 9

Подставим $k = 1$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$k = 1 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Этап 9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 1 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Этап 9.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Этап 9.4

Найдем экспоненту.

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Этап 9.5

Умножим $2$ на $1$ .

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Этап 10

Подставим $k = 2$ в формулу и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$k = 2 : {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Этап 10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Сократим общий множитель.

$k = 2 : 2^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Этап 10.3.2

Перепишем это выражение.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Этап 10.4

Найдем экспоненту.

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Этап 10.5

Умножим $2$ на $2$ .

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Этап 11

Перечислим решения.

$k = 0 : 2 c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 2 c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 2 c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$