Линейная алгебра Примеры

$x_{1} - 2 x_{2} + 3 x_{3} = 11$ $4 x_{1} + x_{2} - x_{3} = 4$ $2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 10$

Этап 1

Запишем систему в виде матрицы.

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 4 & 1 & - 1 & 4 \\ 2 & - 1 & 3 & 10 \end{array}]$

Этап 2

Приведем матрицу к стандартной форме по строкам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} - 4 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $2, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 1 - 4 \cdot - 2 & - 1 - 4 \cdot 3 & 4 - 4 \cdot 11 \\ 2 & - 1 & 3 & 10 \end{array}]$

Этап 2.1.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 9 & - 13 & - 40 \\ 2 & - 1 & 3 & 10 \end{array}]$

Этап 2.2

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ , чтобы сделать элемент в $3, 1$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 9 & - 13 & - 40 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 2 & 3 - 2 \cdot 3 & 10 - 2 \cdot 11 \end{array}]$

Этап 2.2.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 9 & - 13 & - 40 \\ 0 & 3 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.3

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый элемент $R_{2}$ на $\frac{1}{9}$ , чтобы сделать значение в $2, 2$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{- 13}{9} & \frac{- 40}{9} \\ 0 & 3 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.3.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{13}{9} & - \frac{40}{9} \\ 0 & 3 & - 3 & - 12 \end{array}]$

Этап 2.4

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Выполним операцию над строками $R_{3} = R_{3} - 3 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $3, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{13}{9} & - \frac{40}{9} \\ 0 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 (- \frac{13}{9}) & - 12 - 3 (- \frac{40}{9}) \end{array}]$

Этап 2.4.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{13}{9} & - \frac{40}{9} \\ 0 & 0 & \frac{4}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Этап 2.5

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{3}{4}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим каждый элемент $R_{3}$ на $\frac{3}{4}$ , чтобы сделать значение в $3, 3$ равным $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{13}{9} & - \frac{40}{9} \\ \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} \cdot 0 & \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} & \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \end{array}]$

Этап 2.5.2

Упростим $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{13}{9} & - \frac{40}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.6

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{13}{9} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Выполним операцию над строками $R_{2} = R_{2} + \frac{13}{9} R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $2, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 + \frac{13}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{13}{9} \cdot 0 & - \frac{13}{9} + \frac{13}{9} \cdot 1 & - \frac{40}{9} + \frac{13}{9} \cdot 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.6.2

Упростим $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.7

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ , чтобы сделать элемент в $1, 3$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 2 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 11 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.7.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.8

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Выполним операцию над строками $R_{1} = R_{1} + 2 R_{2}$ , чтобы сделать элемент в $1, 2$ равным $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & 0 + 2 \cdot 0 & 8 + 2 \cdot - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 2.8.2

Упростим $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Этап 3

Используем полученную матрицу для описания окончательного решения системы уравнений.

$x_{1} = 2$

$x_{2} = - 3$

$x_{3} = 1$

Этап 4

Решение представляет собой набор упорядоченных пар, для которых система верна.

$(2, - 3, 1)$