Конечная математика Примеры

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ умножим на $4$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ на $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Этап 2.2.1.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Этап 2.2.1.3

Умножим $3$ на $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $0$ на $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

Этап 3

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Этап 4

Разложим $x^{2} - 8 x + 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $12$ , а сумма — $- 8$ .

$- 6, - 2$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x - 2) = 0$ верно.

$x = 6, 2$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

Этап 10.1.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $2 < x < 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 1$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 6$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

Этап 10.3.3

Левая часть $3$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

$x < 2$ Ложь

$2 < x < 6$ Истина

$x > 6$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$2 \leq x \leq 6$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$2 \leq x \leq 6$

Интервальное представление:

$[2, 6]$

Этап 13