Конечная математика Примеры

$4 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 2

Зададим аргумент в $\log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{6 x - 1} \leq 0$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{6 x - 1}}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 3.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6 x - 1}$ в виде ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(6 x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 3.2.2.1.2

Упростим.

$6 x - 1 \leq 0^{2}$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$6 x - 1 \leq 0$

Этап 3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$6 x \leq 1$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $6 x \leq 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $6 x \leq 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \leq \frac{1}{6}$

Этап 3.4

Найдем область определения $\sqrt{6 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 x - 1}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$6 x - 1 \geq 0$

Этап 3.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$6 x \geq 1$

Этап 3.4.2.2

Разделим каждый член $6 x \geq 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Разделим каждый член $6 x \geq 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Этап 3.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

Этап 3.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{1}{6}$

Этап 3.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[\frac{1}{6}, \infty)$

Этап 3.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Этап 3.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 3.6.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 (0) - 1} \leq 0$

Этап 3.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 3.6.2

Проверим значение на интервале $x > \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{1}{6}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$

Этап 3.6.2.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\sqrt{6 (3) - 1} \leq 0$

Этап 3.6.2.3

Левая часть $4.12310562$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 3.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{6}$ Ложь

$x > \frac{1}{6}$ Ложь

$x < \frac{1}{6}$ Ложь

$x > \frac{1}{6}$ Ложь

Этап 3.7

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 4

Зададим аргумент в $\log_{5} (\frac{5}{x})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{5}{x} \leq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x = 0$

Этап 5.2

Найдем область определения $\frac{5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5.3

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$

Этап 6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{6 x - 1}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$6 x - 1 < 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$6 x < 1$

Этап 7.2

Разделим каждый член $6 x < 1$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $6 x < 1$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{1}{6}$

Этап 8

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x < \frac{1}{6}$

$(- \infty, \frac{1}{6})$

Этап 9