Конечная математика Примеры

$\sqrt{2 n^{2} - 1}$

Этап 1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 n^{2} - 1}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 n^{2} - 1 < 0$

Этап 2

Решим относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $1$ к обеим частям неравенства.

$2 n^{2} < 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $2 n^{2} < 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $2 n^{2} < 1$ на $2$ .

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 n^{2}}{2} < \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $n^{2}$ на $1$ .

$n^{2} < \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| n | < \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим $\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.1.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.1.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.1.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.1.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.2.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.2.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.2.1.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.2.1.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.2.1.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.1.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.1.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.2.1.4.6.5

Найдем экспоненту.

$| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5

Запишем $| n | < \frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$n \geq 0$

Этап 2.5.2

В части, где $n$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$n < 0$

Этап 2.5.4

В части, где $n$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n \geq 0 \\ - n < \frac{\sqrt{2}}{2} & n < 0 \end{cases}$

Этап 2.6

Найдем пересечение $n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $n \geq 0$ .

$0 \leq n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.7

Решим $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ , когда $n < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Разделим каждый член $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Разделим каждый член $- n < \frac{\sqrt{2}}{2}$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- n}{- 1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{n}{1} > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.2.2

Разделим $n$ на $1$ .

$n > \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$

Этап 2.7.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{- 1}$ .

$n > - 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.7.1.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ в виде $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $n > - \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $n < 0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < 0$

Этап 2.8

Найдем объединение решений.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2}$

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- \frac{\sqrt{2}}{2} < n < \frac{\sqrt{2}}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Интервальное представление:

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 5