Конечная математика Примеры

$y = \frac{1}{- 8 x + 1}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{- 8 y + 1}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} = x$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$- 8 y + 1, 1$

Этап 2.2.2

Избавимся от скобок.

$- 8 y + 1, 1$

Этап 2.2.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$- 8 y + 1$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ умножим на $- 8 y + 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{- 8 y + 1} = x$ на $- 8 y + 1$ .

$\frac{1}{- 8 y + 1} (- 8 y + 1) = x (- 8 y + 1)$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{- 8 y + 1}$ на $- 8 y + 1$ .

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 8 y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 y + 1}{- 8 y + 1} = x (- 8 y + 1)$

Этап 2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 = x (- 8 y + 1)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = x (- 8 y) + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = - 8 x y + x \cdot 1$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = - 8 x y + x$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем уравнение в виде $- 8 x y + x = 1$ .

$- 8 x y + x = 1$

Этап 2.4.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 8 x y = 1 - x$

Этап 2.4.3

Разделим каждый член $- 8 x y = 1 - x$ на $- 8 x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Разделим каждый член $- 8 x y = 1 - x$ на $- 8 x$ .

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x y}{- 8 x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{1}{- 8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- x}{- 8 x}$

Этап 2.4.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{- 1}{- 8}$

Этап 2.4.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{8 (\frac{1}{- 8 x + 1})} + \frac{1}{8}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{1}{\frac{8}{- 8 x + 1}} + \frac{1}{8}$

Этап 4.2.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - (1 (\frac{- 8 x + 1}{8})) + \frac{1}{8}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $\frac{- 8 x + 1}{8}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = - \frac{- 8 x + 1}{8} + \frac{1}{8}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x + 1) + 1}{8}$

Этап 4.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Этап 4.2.5.2

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 \cdot 1 + 1}{8}$

Этап 4.2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x - 1 + 1}{8}$

Этап 4.2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Объединим противоположные члены в $8 x - 1 + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x + 0}{8}$

Этап 4.2.6.1.2

Добавим $8 x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 4.2.6.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = \frac{8 x}{8}$

Этап 4.2.6.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{- 8 x + 1}) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 (- \frac{1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8 x}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 8 \frac{- 1}{8 x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.2.2

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.2.3

Вынесем множитель $8$ из $8 x$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 (- 1) (\frac{- 1}{8 (x)}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.2.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{8 \cdot (- 1 \frac{- 1}{8 x}) - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.2.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 8 (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Вынесем множитель $8$ из $- 8$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 (- 1) (\frac{1}{8}) + 1}$

Этап 4.3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} + 8 \cdot (- 1 (\frac{1}{8})) + 1}$

Этап 4.3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 \frac{- 1}{x} - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{- 1 (- \frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.4.2

Умножим $- 1 (- \frac{1}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{1 (\frac{1}{x}) - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1 + 1}$

Этап 4.3.3.5

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Этап 4.3.3.6

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 4.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = 1 x$

Этап 4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{- 8 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{1}{8 x} + \frac{1}{8}$