Конечная математика Примеры

$s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Этап 1

Запишем $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ в виде уравнения.

$y = x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y (y^{2} - \frac{8}{y})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$ .

$y (y^{2} - \frac{8}{y}) = x$

Этап 3.2

Упростим $y (y^{2} - \frac{8}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y \cdot y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Этап 3.2.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y^{1} y^{2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Этап 3.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{1 + 2} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Этап 3.2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$y^{3} + y (- \frac{8}{y}) = x$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y^{3} - y \frac{8}{y} = x$

Этап 3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Этап 3.2.4.1.2

Сократим общий множитель.

$y^{3} + y \cdot - 1 \frac{8}{y} = x$

Этап 3.2.4.1.3

Перепишем это выражение.

$y^{3} - 1 \cdot 8 = x$

Этап 3.2.4.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$y^{3} - 8 = x$

Этап 3.3

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$y^{3} = x + 8$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{x + 8}$

Этап 4

Replace $y$ with $s^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$

Этап 5

Проверим, является ли $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ обратной к $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $s^{- 1} (s (x)) = x$ и $s (s^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $s^{- 1} (s (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$s^{- 1} (s (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x}))$ , подставив значение $s$ в $s^{- 1}$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{(x (x^{2} - \frac{8}{x})) + 8}$

Этап 5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.4

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x (- \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - x \frac{8}{x} + 8}$

Этап 5.2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.6.1.2

Сократим общий множитель.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot (- 1 \frac{8}{x}) + 8}$

Этап 5.2.6.1.3

Перепишем это выражение.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 \cdot 8 + 8}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $- 1$ на $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} - 8 + 8}$

Этап 5.2.7

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.7.1

Добавим $- 8$ и $8$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Этап 5.2.7.2

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Этап 5.2.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$s^{- 1} (x (x^{2} - \frac{8}{x})) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $s (s^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$s (s^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $s (\sqrt[3]{x + 8})$ , подставив значение $s^{- 1}$ в $s$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = (\sqrt[3]{x + 8}) ({(\sqrt[3]{x + 8})}^{2} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}})$

Этап 5.3.3.2

Умножим $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - (\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}))$

Этап 5.3.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим $\frac{8}{\sqrt[3]{x + 8}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Этап 5.3.3.3.2

Возведем $\sqrt[3]{x + 8}$ в степень $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}})$

Этап 5.3.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{1 + 2}})$

Этап 5.3.3.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{\sqrt[3]{x + 8}}^{3}})$

Этап 5.3.3.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 8}}^{3}$ в виде $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x + 8}$ в виде ${(x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{({(x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 5.3.3.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 5.3.3.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 5.3.3.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{{(x + 8)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 5.3.3.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Этап 5.3.3.3.5.5

Упростим.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 {\sqrt[3]{x + 8}}^{2}}{x + 8})$

Этап 5.3.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{x + 8}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Этап 5.3.4

Чтобы записать $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 8}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8)}{x + 8} - \frac{8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Этап 5.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}}{x + 8})$

Этап 5.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ из $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) - 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1.1

Вынесем множитель $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ из $- 8 \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8}{x + 8})$

Этап 5.3.6.1.2

Вынесем множитель $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}}$ из $\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8) + \sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} \cdot - 8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 8 - 8)}{x + 8})$

Этап 5.3.6.2

Вычтем $8$ из $8$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} (x + 0)}{x + 8})$

Этап 5.3.6.3

Добавим $x$ и $0$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \sqrt[3]{x + 8} (\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8})$

Этап 5.3.7

Умножим $\sqrt[3]{x + 8} \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Объединим $\sqrt[3]{x + 8}$ и $\frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x}{x + 8}$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{x + 8} (\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2}} x)}{x + 8}$

Этап 5.3.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Этап 5.3.7.3

Умножим ${(x + 8)}^{2}$ на $x + 8$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1

Умножим ${(x + 8)}^{2}$ на $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.3.1.1

Возведем $x + 8$ в степень $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2} (x + 8)} x}{x + 8}$

Этап 5.3.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{2 + 1}} x}{x + 8}$

Этап 5.3.7.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{\sqrt[3]{{(x + 8)}^{3}} x}{x + 8}$

Этап 5.3.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Этап 5.3.9

Сократим общий множитель $x + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Сократим общий множитель.

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = \frac{(x + 8) x}{x + 8}$

Этап 5.3.9.2

Разделим $x$ на $1$ .

$s (\sqrt[3]{x + 8}) = x$

Этап 5.4

Так как $s^{- 1} (s (x)) = x$ и $s (s^{- 1} (x)) = x$ , то $s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$ — обратная к $s (x) = x (x^{2} - \frac{8}{x})$ .

$s^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 8}$