Конечная математика Примеры

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$

Этап 1

Запишем $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ в виде уравнения.

$y = 750 x^{2} + 15000 x$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 750 y^{2} + 15000 y$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $750 y^{2} + 15000 y = x$ .

$750 y^{2} + 15000 y = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$750 y^{2} + 15000 y - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 750$ , $b = 15000$ и $c = - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (750 \cdot (- x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $15000$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.2.2

Умножим $- 3000$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель $3000$ из $225000000 + 3000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.3.1

Вынесем множитель $3000$ из $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.3.2

Вынесем множитель $3000$ из $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.4

Перепишем $3000 (75000 + x)$ в виде $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Этап 3.5.3

Упростим $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $15000$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.2.2

Умножим $- 3000$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $3000$ из $225000000 + 3000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.3.1

Вынесем множитель $3000$ из $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.3.2

Вынесем множитель $3000$ из $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.4

Перепишем $3000 (75000 + x)$ в виде $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Этап 3.6.3

Упростим $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{- 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.6.5

Перепишем $- 1500$ в виде $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{30 (75000 + x)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1500) - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 - \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

Этап 3.6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $15000$ в степень $2$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $- 3000$ на $- 1$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.3

Вынесем множитель $3000$ из $225000000 + 3000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.3.1

Вынесем множитель $3000$ из $225000000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.3.2

Вынесем множитель $3000$ из $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.4

Перепишем $3000 (75000 + x)$ в виде $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Вынесем множитель $100$ из $3000$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.4.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.4.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $750$ .

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ .

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.5.1

Изменим порядок $75000$ и $x$ .

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 3.7.5.2

Перепишем $- 1500$ в виде $- 1 (1500)$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 3.7.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{30 (x + 75000)}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - (\sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Этап 3.7.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1500) - (\sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Этап 3.7.5.5

Перепишем $- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ в виде $- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ .

$y = \frac{- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

Этап 3.7.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 5

Проверим, является ли $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ обратной к $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ и $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 75000, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $- \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{30 (75000 + x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$30 (75000 + x) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $30 (75000 + x) \geq 0$ на $30$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Разделим каждый член $30 (75000 + x) \geq 0$ на $30$ .

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Этап 5.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

Этап 5.3.2.1.2.1.2

Разделим $75000 + x$ на $1$ .

$75000 + x \geq \frac{0}{30}$

Этап 5.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $30$ .

$75000 + x \geq 0$

Этап 5.3.2.2

Вычтем $75000$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 75000$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 75000, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ , а множество значений, определяемое уравнениями $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ , представляет область определения $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ , то $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ — обратная к $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ .

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

Этап 6