Конечная математика Примеры

$f (x) = 10 x^{3}$

Этап 1

Запишем $f (x) = 10 x^{3}$ в виде уравнения.

$y = 10 x^{3}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 10 y^{3}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $10 y^{3} = x$ .

$10 y^{3} = x$

Этап 3.2

Разделим каждый член $10 y^{3} = x$ на $10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разделим каждый член $10 y^{3} = x$ на $10$ .

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

Этап 3.2.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{10}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

Этап 3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.3.2

Возведем $\sqrt[3]{10}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

Этап 3.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

Этап 3.4.3.5

Перепишем ${\sqrt[3]{10}}^{3}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{10}$ в виде $10^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.3.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.3.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

Этап 3.4.3.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

Этап 3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем ${\sqrt[3]{10}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{10^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $10$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

Этап 3.4.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

Этап 3.4.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ обратной к $f (x) = 10 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (10 x^{3})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $100$ на $10$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем $1000 x^{3}$ в виде ${(10 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

Этап 5.2.3.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

Этап 5.3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

Этап 5.3.4

Перепишем ${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ в виде $100 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{100 x}$ в виде ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

Этап 5.3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

Этап 5.3.4.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Этап 5.3.4.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

Этап 5.3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Этап 5.3.4.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

Этап 5.3.5

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

Этап 5.3.6

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.6.1

Вынесем множитель $10$ из $1000$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

Этап 5.3.6.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

Этап 5.3.6.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

Этап 5.3.7.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ — обратная к $f (x) = 10 x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$