Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{2} - 5 x + 3$

Этап 1

Запишем $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ в виде уравнения.

$y = x^{2} - 5 x + 3$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = y^{2} - 5 y + 3$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $y^{2} - 5 y + 3 = x$ .

$y^{2} - 5 y + 3 = x$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} - 5 y + 3 - x = 0$

Этап 3.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = 3 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.1.6

Вычтем $12$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.1.6

Вычтем $12$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 3.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 3.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Вычтем $12$ из $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 3.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ обратной к $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ и $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- \frac{13}{4}, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{13 + 4 x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$13 + 4 x \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вычтем $13$ из обеих частей неравенства.

$4 x \geq - 13$

Этап 5.3.2.2

Разделим каждый член $4 x \geq - 13$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Разделим каждый член $4 x \geq - 13$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 13}{4}$

Этап 5.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 13}{4}$

Этап 5.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x \geq \frac{- 13}{4}$

Этап 5.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x \geq - \frac{13}{4}$

Этап 5.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- \frac{13}{4}, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ — обратная к $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

Этап 6