Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ в виде уравнения.

$y = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$ .

$\frac{- 4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{7} y - \frac{16}{7} = x$

Этап 3.2.2

Объединим $y$ и $\frac{4}{7}$ .

$- \frac{y \cdot 4}{7} - \frac{16}{7} = x$

Этап 3.2.3

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$- \frac{4 y}{7} - \frac{16}{7} = x$

Этап 3.3

Добавим $\frac{16}{7}$ к обеим частям уравнения.

$- \frac{4 y}{7} = x + \frac{16}{7}$

Этап 3.4

Умножим обе части уравнения на $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Упростим $- \frac{7}{4} (- \frac{4 y}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{4}$ в числитель.

$\frac{- 7}{4} (- \frac{4 y}{7}) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.1.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 y}{7}$ в числитель.

$\frac{- 7}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.1.3

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$\frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.1.4

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 y}{7} = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.1.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4} (- 4 y) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 y$ .

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{4} (4 (- y)) = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- - y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.1.1.3.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$

Этап 3.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим $- \frac{7}{4} (x + \frac{16}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{7}{4} x - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Этап 3.5.2.1.1.2

Объединим $x$ и $\frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Этап 3.5.2.1.1.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7}{4}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 7}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Этап 3.5.2.1.1.3.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 (- 1)}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Этап 3.5.2.1.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{7 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{16}{7}$

Этап 3.5.2.1.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot 16$

Этап 3.5.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (4))$

Этап 3.5.2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 4)$

Этап 3.5.2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 1 \cdot 4$

Этап 3.5.2.1.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 7}{4} - 4$

Этап 3.5.2.1.2

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$y = - \frac{7 x}{4} - 4$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ обратной к $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4}{7} x - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.2

Объединим $x$ и $\frac{4}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{x \cdot 4}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.3

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- \frac{4 \cdot x}{7} - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{4 x}{7} - \frac{16}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{4 x}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{16}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7}))}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{4 x}{7}) - (\frac{16}{7})$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 (- (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{7 \cdot (- 1 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.5.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7}))}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.5.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 (\frac{4 x}{7} + \frac{16}{7})}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 16}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x) + 16}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.7.2

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 x + 4 \cdot 4}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.1.7.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x + 4 \cdot 4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 7 \frac{4 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.2

Объединим $- 7$ и $\frac{4 (x + 4)}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 7 (4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.3

Умножим $- 7$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 28 (x + 4)}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Сократим выражение $\frac{- 28 (x + 4)}{7}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $- 28 (x + 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 (1)}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.4.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{7 (- 4 (x + 4))}{7 \cdot 1}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.4.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{\frac{- 4 (x + 4)}{1}}{4} - 4$

Этап 5.2.3.4.2

Разделим $- 4 (x + 4)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- 4 (x + 4)}{4} - 4$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $- 4$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 (x + 4)$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4} - 4$

Этап 5.2.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 (1)} - 4$

Этап 5.2.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{4 (- (x + 4))}{4 \cdot 1} - 4$

Этап 5.2.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - \frac{- (x + 4)}{1} - 4$

Этап 5.2.3.5.2.4

Разделим $- (x + 4)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = (x + 4) - 4$

Этап 5.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 1 \cdot 4) - 4$

Этап 5.2.3.7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = - (- x - 4) - 4$

Этап 5.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Этап 5.2.3.9

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = 1 x + 4 - 4$

Этап 5.2.3.9.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Этап 5.2.3.10

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 4 - 4$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $x + 4 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $4$ из $4$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x + 0$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (- \frac{7 x}{4} - 4)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4} - 4) - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - \frac{4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{7}$ в числитель.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot (- \frac{7 x}{4}) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.3.2

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{7 x}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 4}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.3.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 (- 1)}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.3.4

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{4 \cdot - 1}{7} \cdot \frac{- 7 x}{4} - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.3.5

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (- 7 x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 x$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = \frac{- 1}{7} \cdot (7 (- x)) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = - 1 (- x) - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = 1 x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.6

Умножим $x$ на $1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x - \frac{4}{7} \cdot - 4 - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.7

Умножим $- \frac{4}{7} \cdot - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.7.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 4 (\frac{4}{7}) - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.7.2

Объединим $4$ и $\frac{4}{7}$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{4 \cdot 4}{7} - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.3.7.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x + \frac{16}{7} - \frac{16}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{16 - 16}{7}$

Этап 5.3.4.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + \frac{0}{7}$

Этап 5.3.4.3

Разделим $0$ на $7$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x + 0$

Этап 5.3.4.4

Добавим $x$ и $0$ .

$f (- \frac{7 x}{4} - 4) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$ — обратная к $f (x) = \frac{- 4}{7} x - \frac{16}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7 x}{4} - 4$