Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y})) = 2 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{y}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Этап 3.3.1.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} (- e^{y})) = 2 x$

Этап 3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{y}$ .

$2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Этап 3.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{5}{2}) + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Этап 3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$5 + 2 (- \frac{e^{y}}{2}) = 2 x$

Этап 3.3.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{y}}{2}$ в числитель.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.6.2

Сократим общий множитель.

$5 + 2 \frac{- e^{y}}{2} = 2 x$

Этап 3.3.1.6.3

Перепишем это выражение.

$5 - e^{y} = 2 x$

Этап 3.4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- e^{y} = 2 x - 5$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- e^{y} = 2 x - 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- e^{y} = 2 x - 5$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{y}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{y}}{1} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$e^{y} = \frac{2 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x}{- 1}$ .

$e^{y} = - 1 \cdot (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 x)$ в виде $- (2 x)$ .

$e^{y} = - (2 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + \frac{- 5}{- 1}$

Этап 3.5.3.1.4

Разделим $- 5$ на $- 1$ .

$e^{y} = - 2 x + 5$

Этап 3.6

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 2 x + 5)$

Этап 3.7

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Развернем $\ln (e^{y})$ , вынося $y$ из логарифма.

$y \ln (e) = \ln (- 2 x + 5)$

Этап 3.7.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 2 x + 5)$

Этап 3.7.3

Умножим $y$ на $1$ .

$y = \ln (- 2 x + 5)$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ обратной к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x}))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) + 5)$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- e^{x})) + 5)$

Этап 5.2.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2} - \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 2 (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 (- 1) (\frac{5}{2}) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (2 \cdot (- 1 (\frac{5}{2})) - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 1 \cdot 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 (- \frac{e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{x}}{2}$ в числитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 2 \frac{- e^{x}}{2} + 5)$

Этап 5.2.3.7.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 (- 1) (\frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.7.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 2 \cdot (- 1 \frac{- e^{x}}{2}) + 5)$

Этап 5.2.3.7.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 - 1 (- e^{x}) + 5)$

Этап 5.2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + 1 e^{x} + 5)$

Этап 5.2.3.9

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (- 5 + e^{x} + 5)$

Этап 5.2.4

Объединим противоположные члены в $- 5 + e^{x} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (0 + e^{x})$

Этап 5.2.4.2

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = \ln (e^{x})$

Этап 5.2.5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \ln (e)$

Этап 5.2.6

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x \cdot 1$

Этап 5.2.7

Умножим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\ln (- 2 x + 5))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{\ln (- 2 x + 5)})$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x + 5))$

Этап 5.3.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 - (- 2 x) - 1 \cdot 5)$

Этап 5.3.3.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 1 \cdot 5)$

Этап 5.3.3.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (5 + 2 x - 5)$

Этап 5.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Объединим противоположные члены в $5 + 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 0)$

Этап 5.3.4.1.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Этап 5.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Этап 5.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\ln (- 2 x + 5)) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (5 - e^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (- 2 x + 5)$