Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ в виде уравнения.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{y^{5}} = x$ .

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y^{5}, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y^{5}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{1}{y^{5}} = x$ умножим на $y^{5}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y^{5}} = x$ на $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Этап 3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = x y^{5}$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x y^{5} = 1$ .

$x y^{5} = 1$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $x y^{5} = 1$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $x y^{5} = 1$ на $x$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $y^{5}$ на $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Этап 3.4.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Этап 3.4.4

Упростим $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Этап 3.4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Этап 3.4.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Этап 3.4.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Этап 3.4.4.4.2

Возведем $\sqrt[5]{x}$ в степень $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Этап 3.4.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Этап 3.4.4.4.4

Добавим $1$ и $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Этап 3.4.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Этап 3.4.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Этап 3.4.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.4.4.4.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Этап 3.4.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Этап 3.4.4.4.5.5

Упростим.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Этап 3.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ обратной к $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Этап 5.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Этап 5.2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Этап 5.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Этап 5.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Этап 5.2.6.2

Умножим $5$ на $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Этап 5.2.7

Перепишем $1$ в виде $1^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Этап 5.2.8

Перепишем $x^{20}$ в виде ${(x^{4})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Этап 5.2.9

Перепишем $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ в виде ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Этап 5.2.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Этап 5.2.11.2

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Этап 5.2.11.3

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Этап 5.3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2

Перепишем ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ в виде $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{x^{4}}$ в виде $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим $\frac{4}{5}$ и $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.4

Умножим $4$ на $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.5

Сократим общий множитель $20$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.1

Вынесем множитель $5$ из $20$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.5.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.2.5.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.3

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Умножим на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Этап 5.3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Этап 5.3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Этап 5.3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Этап 5.3.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Этап 5.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ — обратная к $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$