Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{5} + 2}{7}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{5} + 2}{7}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y^{5} + 2}{7} = x$ .

$\frac{y^{5} + 2}{7} = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $7$ .

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$7 \frac{y^{5} + 2}{7} = 7 x$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{5} + 2 = 7 x$

Этап 3.4

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$y^{5} = 7 x - 2$

Этап 3.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7})$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{7 (\frac{x^{5} + 2}{7}) - 2}$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 2 - 2}$

Этап 5.2.4

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Этап 5.2.4.2

Добавим $x^{5}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Этап 5.2.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (\frac{x^{5} + 2}{7}) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\sqrt[5]{7 x - 2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(\sqrt[5]{7 x - 2})}^{5} + 2}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{7 x - 2}$ в виде ${(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}{7}$

Этап 5.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(7 x - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{{(7 x - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}{7}$

Этап 5.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{(7 x - 2) + 2}{7}$

Этап 5.3.3.3

Упростим.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x - 2 + 2}{7}$

Этап 5.3.3.4

Добавим $- 2$ и $2$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x + 0}{7}$

Этап 5.3.3.5

Добавим $7 x$ и $0$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = \frac{7 x}{7}$

Этап 5.3.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f (\sqrt[5]{7 x - 2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{5} + 2}{7}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{7 x - 2}$