Конечная математика Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ в виде уравнения.

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим уравнение на $y^{2} - 1$ .

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $(y^{2} - 1) (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Этап 3.2.1.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

Этап 3.3.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = y$ и $b = 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

Этап 3.3.1.2

Умножим $\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ на $y^{2} - 1$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3.3.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3.3.1.3.2

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3.3.1.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

Этап 3.3.1.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Этап 3.3.1.4.2

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

Этап 3.3.1.4.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} x - x = y^{2}$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

Этап 3.4.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} x - y^{2} = x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} x$ .

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

Этап 3.4.3.2

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- y^{2}$ .

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

Этап 3.4.3.3

Вынесем множитель $y^{2}$ из $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ .

$y^{2} (x - 1) = x$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $y^{2} (x - 1) = x$ на $x - 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $y^{2} (x - 1) = x$ на $x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

Этап 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

Этап 3.4.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Перепишем $\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ в виде $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

Этап 3.4.6.2

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ на $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

Этап 3.4.6.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ на $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

Этап 3.4.6.3.2

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

Этап 3.4.6.3.3

Возведем $\sqrt{x - 1}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

Этап 3.4.6.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.6.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

Этап 3.4.6.3.6

Перепишем ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ в виде $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 1}$ в виде ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.6.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.6.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.6.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

Этап 3.4.6.3.6.5

Упростим.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

Этап 3.4.6.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 3.4.7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 3.4.7.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 3.4.7.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ обратной к $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ и $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ и сравним их.

Этап 5.2

Найдем множество значений $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Этап 5.3

Найдем область определения $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x (x - 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x (x - 1) \geq 0$

Этап 5.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.3.2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.2.3

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.3.2.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.3.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 1) \geq 0$ верно.

$x = 0, 1$

Этап 5.3.2.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 5.3.2.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.3.2.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) ((- 2) - 1) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.1.3

Левая часть $6$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.6.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 5.3.2.6.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$(0.5) ((0.5) - 1) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.2.3

Левая часть $- 0.25$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.3.2.6.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.3.2.6.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$(4) ((4) - 1) \geq 0$

Этап 5.3.2.6.3.3

Левая часть $12$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3.2.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

$x < 0$ Истина

$0 < x < 1$ Ложь

$x > 1$ Истина

Этап 5.3.2.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq 0$ или $x \geq 1$

Этап 5.3.3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 1 = 0$

Этап 5.3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.3.5

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0] \cup (1, \infty)$

Этап 5.4

Найдем область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 5.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 5.4.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5.4.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 5.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ , представляет область определения $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$ — обратная к $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}, - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

Этап 6