Конечная математика Примеры

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Этап 2.2

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 12$ и $c = 3 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.6

Вычтем $24$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель $8$ из $120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8

Перепишем $8 (15 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.5.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.6

Вычтем $24$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7

Вынесем множитель $8$ из $120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8

Перепишем $8 (15 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем $24$ из $144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель $8$ из $120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель $8$ из $120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель $8$ из $8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8

Перепишем $8 (15 + x)$ в виде $2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.7.3

Упростим $\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ обратной к $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ и $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 15, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения $\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{2 (15 + x)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (15 + x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член $2 (15 + x) \geq 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член $2 (15 + x) \geq 0$ на $2$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим $15 + x$ на $1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$15 + x \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $15$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 15$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[- 15, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ , представляет область определения $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ — обратная к $f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 5