Конечная математика Примеры

2 x^{2} - 12 x + 3

$2 x^{2} - 12 x + 3$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

x = 2 y^{2} - 12 y + 3

$x = 2 y^{2} - 12 y + 3$

Этап 2

Решим относительно

y

$y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$ .

2 y^{2} - 12 y + 3 = x

$2 y^{2} - 12 y + 3 = x$

Этап 2.2

Вычтем

x

$x$ из обеих частей уравнения.

2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0

$2 y^{2} - 12 y + 3 - x = 0$

Этап 2.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.4

Подставим значения

a = 2

$a = 2$ ,

b = - 12

$b = - 12$ и

c = 3 - x

$c = 3 - x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

y

$y$ .

\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем

- 12

$- 12$ в степень

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.2

Умножим

- 4

$- 4$ на

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.4

Умножим

- 8

$- 8$ на

3

$3$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.5

Умножим

- 1

$- 1$ на

- 8

$- 8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.6

Вычтем

24

$24$ из

144

$144$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7

Вынесем множитель

8

$8$ из

120 + 8 x

$120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель

8

$8$ из

120

$120$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.7.2

Вынесем множитель

8

$8$ из

8 \cdot 15 + 8 x

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8

Перепишем

8 (15 + x)

$8 (15 + x)$ в виде

2^{2} \cdot (2 (15 + x))

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.8.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

8

$8$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8.2

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.8.3

Добавим круглые скобки.

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.5.2

Умножим

2

$2$ на

2

$2$ .

y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.5.3

Упростим

\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$+$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем

$- 12$ в степень

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.2

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.4

Умножим

$- 8$ на

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.5

Умножим

$- 1$ на

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.6

Вычтем

$24$ из

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7

Вынесем множитель

$8$ из

$120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.7.1

Вынесем множитель

$8$ из

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.7.2

Вынесем множитель

$8$ из

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8

Перепишем

$8 (15 + x)$ в виде

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.8.1

Вынесем множитель

$4$ из

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.6.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.6.4

Заменим

$\pm$ на

$+$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$-$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Возведем

$- 12$ в степень

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.2

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 3 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.4

Умножим

$- 8$ на

$3$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 - 8 (- x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.5

Умножим

$- 1$ на

$- 8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 24 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.6

Вычтем

$24$ из

$144$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{120 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7

Вынесем множитель

$8$ из

$120 + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.7.1

Вынесем множитель

$8$ из

$120$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 15 + 8 x}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.7.2

Вынесем множитель

$8$ из

$8 \cdot 15 + 8 x$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{8 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8

Перепишем

$8 (15 + x)$ в виде

$2^{2} \cdot (2 (15 + x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.8.1

Вынесем множитель

$4$ из

$8$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{4 (2) (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8.2

Перепишем

$4$ в виде

$2^{2}$ .

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.8.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (15 + x))}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{2 \cdot 2}$

Этап 2.7.2

Умножим

$2$ на

$2$ .

$y = \frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$

Этап 2.7.3

Упростим

$\frac{12 \pm 2 \sqrt{2 (15 + x)}}{4}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.7.4

Заменим

$\pm$ на

$-$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 2.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

$y = \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 3

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 4

Проверим, является ли

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ обратной к

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Область определения обратной функции — это множество значений исходной функции, и наоборот. Найдем область определения и множество значений

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ и

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ и сравним их.

Этап 4.2

Найдем множество значений

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Множество значений ― это множество всех допустимых значений

$y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$[- 15, \infty)$

Этап 4.3

Найдем область определения

$\frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{2 (15 + x)}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$2 (15 + x) \geq 0$

Этап 4.3.2

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Разделим каждый член

$2 (15 + x) \geq 0$ на

$2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Разделим каждый член

$2 (15 + x) \geq 0$ на

$2$ .

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (15 + x)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.2.1.2

Разделим

$15 + x$ на

$1$ .

$15 + x \geq \frac{0}{2}$

Этап 4.3.2.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

Разделим

$0$ на

$2$ .

$15 + x \geq 0$

Этап 4.3.2.2

Вычтем

$15$ из обеих частей неравенства.

$x \geq - 15$

Этап 4.3.3

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

$[- 15, \infty)$

Этап 4.4

Найдем область определения

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

$(- \infty, \infty)$

Этап 4.5

Так как область определения

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ представляет множество значений, определяемых уравнением

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , а множество значений, определяемое уравнениями

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ , представляет область определения

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ , то

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$ — обратная к

$f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 + \sqrt{2 (15 + x)}}{2}, \frac{6 - \sqrt{2 (15 + x)}}{2}$

Этап 5