Конечная математика Примеры

$0 > - x^{2} + 7 x + 12$

Этап 1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$- x^{2} + 7 x + 12 < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- x^{2} + 7 x + 12 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = - 1$ , $b = 7$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $4$ на $12$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $49$ и $48$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{- 7 \pm \sqrt{97}}{- 2}$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{97}}{2}$

Этап 6

Объединим решения.

$x = \frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

Этап 7

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Этап 8

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 8.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$0 > - {(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 12$

Этап 8.1.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 32$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.2

Проверим значение на интервале $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$0 > - {(0)}^{2} + 7 (0) + 12$

Этап 8.2.3

Левая часть $0$ не больше правой части $12$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 11$

Этап 8.3.2

Заменим $x$ на $11$ в исходном неравенстве.

$0 > - {(11)}^{2} + 7 (11) + 12$

Этап 8.3.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 32$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Истина

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Ложь

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Истина

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ Истина

$\frac{7 - \sqrt{97}}{2} < x < \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Ложь

$x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$ Истина

Этап 9

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2}$ или $x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$x < \frac{7 - \sqrt{97}}{2} or x > \frac{7 + \sqrt{97}}{2}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \frac{7 - \sqrt{97}}{2}) \cup (\frac{7 + \sqrt{97}}{2}, \infty)$

Этап 11