Конечная математика Примеры

$\frac{x - 3}{3 x - 1} = \frac{x + 4}{2 x + 5}$

Этап 1

Вычтем $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x - 3}{3 x - 1} - \frac{x + 4}{2 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{x + 4}{2 x + 5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{x - 3}{3 x - 1} \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(3 x - 1) (2 x + 5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x - 3}{3 x - 1}$ на $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{x + 4}{2 x + 5} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x + 4}{2 x + 5}$ на $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(3 x - 1) (2 x + 5)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(3 x - 1) (2 x + 5)$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 5)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} - \frac{(x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x - 3) (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Развернем $(x - 3) (2 x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x + 5) - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x + 5) - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.1.3

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 3 \cdot 5 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.1.5

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 x - 6 x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $6 x$ из $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - (x + 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 1 \cdot 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 + (- x - 4) (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.5

Развернем $(- x - 4) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x - 1) - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - x (3 x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x \cdot x - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 1 \cdot 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - x \cdot - 1 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.4

Умножим $- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + 1 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.5

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x - 4 \cdot - 1}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.1.6

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} + x - 12 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.6.2

Вычтем $12 x$ из $x$ .

$\frac{2 x^{2} - x - 15 - 3 x^{2} - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.7

Вычтем $3 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - x - 15 - 11 x + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.8

Вычтем $11 x$ из $- x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 15 + 4}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.9

Добавим $- 15$ и $4$ .

$\frac{- x^{2} - 12 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 11 = 11$ , а сумма — $b = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.1.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 x$ .

$\frac{- x^{2} - 12 (x) - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10.1.2

Запишем $- 12$ как $- 1$ плюс $- 11$

$\frac{- x^{2} + (- 1 - 11) x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 x - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) - 11 x - 11}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 1) + 11 (- x - 1)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.5.10.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.9

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)} = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{(x + 1) (x + 11)}{(2 x + 5) (3 x - 1)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 4.2.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 4.2.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 4.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 4.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 5) (3 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{3}$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - \frac{5}{2}, x = \frac{1}{3}$

Этап 6