Конечная математика Примеры

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Этап 2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Этап 2.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Упростим.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Упростим ${(10^{0})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(10^{0})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.1.2

Умножим $0$ на $3$ .

$x = 10^{0}$

Этап 2.2.3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = 1$

Этап 3

Зададим аргумент в $\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x \sqrt{x}}$ в виде ${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Этап 4.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} \leq 0$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 4.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq 0$

Этап 5

Зададим аргумент в $\log (\sqrt[3]{x})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$x \leq 0^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x \leq 0$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x \sqrt{x}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \sqrt{x} < 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим ${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.4

Добавим $2$ и $1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} < 0^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x^{3} < 0$

Этап 9.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 9.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 9.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 9.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 9.4

Найдем область определения $x \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 9.4.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 9.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$x > 0$

Этап 9.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 9.6.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Этап 9.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.2

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.6.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Этап 9.6.2.3

Левая часть $2.82842712$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

Этап 9.7

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 10

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Этап 11