Конечная математика Примеры

\frac{log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{log (\sqrt[3]{x})}

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$

Этап 1

Зададим знаменатель в

\frac{log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{log (\sqrt[3]{x})}

$\frac{\log (\sqrt{x \sqrt{x}})}{\log (\sqrt[3]{x})}$ равным

0

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

log (\sqrt[3]{x}) = 0

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$

Этап 2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

log (\sqrt[3]{x}) = 0

$\log (\sqrt[3]{x}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если

x

$x$ и

b

$b$ — положительные вещественные числа и

b \neq 1

$b \neq 1$ , то

{log}_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ эквивалентно

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

10^{0} = \sqrt[3]{x}

$10^{0} = \sqrt[3]{x}$

Этап 2.2

Решим относительно

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем уравнение в виде

\sqrt[3]{x} = 10^{0}

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$ .

\sqrt[3]{x} = 10^{0}

$\sqrt[3]{x} = 10^{0}$

Этап 2.2.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

{\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

С помощью

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

\sqrt[3]{x}

$\sqrt[3]{x}$ в виде

x^{\frac{1}{3}}

$x^{\frac{1}{3}}$ .

{(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Упростим

{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в

{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель

3

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.2.1.2

Упростим.

$x = {(10^{0})}^{3}$

Этап 2.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Упростим

${(10^{0})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1

Перемножим экспоненты в

${(10^{0})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = 10^{0 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.3.1.1.2

Умножим

$0$ на

$3$ .

$x = 10^{0}$

Этап 2.2.3.3.1.2

Любое число в степени

$0$ равно

$1$ .

$x = 1$

Этап 3

Зададим аргумент в

$\log (\sqrt{x \sqrt{x}})$ меньшим или равным

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{x \sqrt{x}} \leq 0$

Этап 4

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${\sqrt{x \sqrt{x}}}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{x \sqrt{x}}$ в виде

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в

${({(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x \sqrt{x})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x \sqrt{x})}^{1} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.2

Упростим.

$x \sqrt{x} \leq 0^{2}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$x \sqrt{x} \leq 0$

Этап 4.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(x \sqrt{x})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{x}$ в виде

$x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Упростим

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Умножим

$x$ на

$x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1

Умножим

$x$ на

$x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1.1.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.1.4

Добавим

$2$ и

$1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2

Перемножим экспоненты в

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} \leq 0^{2}$

Этап 4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$x^{3} \leq 0$

Этап 4.5

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 4.5.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq \sqrt[3]{0}$

Этап 4.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Упростим

$\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Перепишем

$0$ в виде

$0^{3}$ .

$x \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x \leq 0$

Этап 5

Зададим аргумент в

$\log (\sqrt[3]{x})$ меньшим или равным

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[3]{x} \leq 0$

Этап 6

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x}}^{3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt[3]{x}$ в виде

$x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} \leq 0^{3}$

Этап 6.2.2.1.2

Упростим.

$x \leq 0^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$x \leq 0$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{x}$ меньшим

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{x \sqrt{x}}$ меньшим

$0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \sqrt{x} < 0$

Этап 9

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

${(x \sqrt{x})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{x}$ в виде

$x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Упростим

${(x \cdot x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1

Умножим

$x$ на

$x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1

Умножим

$x$ на

$x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.1.1.1

Возведем

$x$ в степень

$1$ .

${(x^{1} x^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x^{1 + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.2

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

${(x^{\frac{2 + 1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.1.4

Добавим

$2$ и

$1$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2

Перемножим экспоненты в

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

Этап 9.2.2.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{3} < 0^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Возведение

$0$ в любую положительную степень дает

$0$ .

$x^{3} < 0$

Этап 9.3

Решим относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 9.3.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \sqrt[3]{0}$

Этап 9.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Упростим

$\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1.1

Перепишем

$0$ в виде

$0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 9.3.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < 0$

Этап 9.4

Найдем область определения

$x \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Зададим подкоренное выражение в

$\sqrt{x}$ большим или равным

$0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x \geq 0$

Этап 9.4.2

Область определения ― это все значения

$x$ , при которых выражение определено.

$[0, \infty)$

Этап 9.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$x > 0$

Этап 9.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Проверим значение на интервале

$x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Выберем значение на интервале

$x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 9.6.1.2

Заменим

$x$ на

$- 2$ в исходном неравенстве.

$(- 2) \sqrt{- 2} < 0$

Этап 9.6.1.3

Левая часть не равна правой части. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.2

Проверим значение на интервале

$x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Выберем значение на интервале

$x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 9.6.2.2

Заменим

$x$ на

$2$ в исходном неравенстве.

$(2) \sqrt{2} < 0$

Этап 9.6.2.3

Левая часть

$2.82842712$ не меньше правой части

$0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

Этап 9.7

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 10

Уравнение не определено, если знаменатель равен

$0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше

$0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен

$0$ .

$x \leq 0, x = 1$

$(- \infty, 0] \cup [1, 1]$

Этап 11