Конечная математика Примеры

$\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 3

Зададим знаменатель в $\frac{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}}{1 + \frac{4}{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + \frac{4}{x} = 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{4}{x} = - 1$

Этап 4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 4.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 4.3

Каждый член в $\frac{4}{x} = - 1$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{x} = - 1$ на $x$ .

$\frac{4}{x} x = - x$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x} x = - x$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = - x$

Этап 4.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $- x = 4$ .

$- x = 4$

Этап 4.4.2

Разделим каждый член $- x = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разделим каждый член $- x = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 4.4.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{- 1}$

Этап 4.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x = - 4$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$1 + \frac{4}{x^{2}} < 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{4}{x^{2}} < - 1$

Этап 6.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 6.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Этап 6.3.1.2

Перепишем это выражение.

$4 = - x^{2}$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{2} = 4$ .

$- x^{2} = 4$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Этап 6.4.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Разделим $4$ на $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Этап 6.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 6.4.4

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 6.4.4.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.4.4.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.4.4.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.4.4.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 6.4.4.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 6.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 6.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 6.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 6.5

Найдем область определения $1 + \frac{4}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.5.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.5.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.5.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 6.6

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$x > 0$

Этап 6.7

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 6.7.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{4}{{(- 2)}^{2}} < 0$

Этап 6.7.1.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.7.2

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 6.7.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$1 + \frac{4}{{(2)}^{2}} < 0$

Этап 6.7.2.3

Левая часть $2$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 6.7.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

Этап 6.8

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 7

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 4, x = 0$

Этап 8