Конечная математика Примеры

$\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3

Зададим аргумент в $\ln (\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}})$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}} \leq 0$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

Этап 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 4.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.6

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 1$

Этап 4.7

Объединим решения.

$x = 0, - 1$

Этап 4.8

Найдем область определения $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2}}{{(x + 1)}^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 1)}^{3} = 0$

Этап 4.8.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 4.8.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 4.8.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 4.9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Этап 4.10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 4.10.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 4)}^{2}}{{((- 4) + 1)}^{3}} \leq 0$

Этап 4.10.1.3

Левая часть $- 0.\overline{592}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 4.10.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.5$

Этап 4.10.2.2

Заменим $x$ на $- 0.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 0.5)}^{2}}{{((- 0.5) + 1)}^{3}} \leq 0$

Этап 4.10.2.3

Левая часть $2$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.10.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 4.10.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2}}{{((2) + 1)}^{3}} \leq 0$

Этап 4.10.3.3

Левая часть $0.\overline{148}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 4.10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

$x < - 1$ Истина

$- 1 < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Ложь

Этап 4.11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - 1$ или $x = 0$

Этап 5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 1, x = 0$

Этап 6