Конечная математика Примеры

$(- 4, 8)$

Этап 1

Чтобы найти экспоненциальную функцию, $f (x) = a^{x}$ , график которой проходит через заданную точку, приравняем функцию $f (x)$ значению $8$ , $y$ в заданной точке, а $x$ приравняем значению $- 4$ , $x$ в заданной точке.

$8 = a^{- 4}$

Этап 2

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $a^{- 4} = 8$ .

$a^{- 4} = 8$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{4}} = 8$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$a^{4}, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$a^{4}$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{a^{4}} = 8$ умножим на $a^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{a^{4}} = 8$ на $a^{4}$ .

$\frac{1}{a^{4}} a^{4} = 8 a^{4}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $a^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{a^{4}} a^{4} = 8 a^{4}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 8 a^{4}$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $8 a^{4} = 1$ .

$8 a^{4} = 1$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $8 a^{4} = 1$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $8 a^{4} = 1$ на $8$ .

$\frac{8 a^{4}}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 a^{4}}{8} = \frac{1}{8}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $a^{4}$ на $1$ .

$a^{4} = \frac{1}{8}$

Этап 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$a = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$

Этап 2.5.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{8}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{8}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{8}}$

Этап 2.5.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{8}}$

Этап 2.5.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$ .

$a = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Этап 2.5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[4]{8}}$ на $\frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{3}}$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{\sqrt[4]{8} {\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Этап 2.5.4.4.2

Возведем $\sqrt[4]{8}$ в степень $1$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{1} {\sqrt[4]{8}}^{3}}$

Этап 2.5.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{1 + 3}}$

Этап 2.5.4.4.4

Добавим $1$ и $3$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{\sqrt[4]{8}}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{4}$ в виде $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{8}$ в виде $8^{\frac{1}{4}}$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{{(8^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Этап 2.5.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Этап 2.5.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $4$ .

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{4}{4}}}$

Этап 2.5.4.4.5.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{\frac{4}{4}}}$

Этап 2.5.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8^{1}}$

Этап 2.5.4.4.5.5

Найдем экспоненту.

$a = \pm \frac{{\sqrt[4]{8}}^{3}}{8}$

Этап 2.5.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[4]{8}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{8^{3}}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{8^{3}}}{8}$

Этап 2.5.4.5.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{512}}{8}$

Этап 2.5.4.5.3

Перепишем $512$ в виде $4^{4} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.3.1

Вынесем множитель $256$ из $512$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{256 (2)}}{8}$

Этап 2.5.4.5.3.2

Перепишем $256$ в виде $4^{4}$ .

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{4^{4} \cdot 2}}{8}$

Этап 2.5.4.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{8}$

Этап 2.5.4.6

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt[4]{2}$ .

$a = \pm \frac{4 (\sqrt[4]{2})}{8}$

Этап 2.5.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$a = \pm \frac{4 \sqrt[4]{2}}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$a = \pm \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Этап 2.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$a = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Этап 2.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$a = - \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Этап 2.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$a = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{2}}{2}$

Этап 3

Подставим каждое значение $a$ в функцию $f (x) = a^{x}$ , чтобы найти каждую возможную экспоненциальную функцию.

$f (x) = {(\frac{\sqrt[4]{2}}{2})}^{x}, f (x) = {(- \frac{\sqrt[4]{2}}{2})}^{x}$