Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{6} - 64$

Этап 1

Перепишем $x^{6}$ в виде ${(x^{2})}^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 64$

Этап 2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$f (x) = {(x^{2})}^{3} - 4^{3}$

Этап 3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$f (x) = (x^{2} - 4) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (x) = (x^{2} - 2^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4^{2})$

Этап 4.4

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4^{2})$

Этап 4.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 16)$

Этап 4.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Перепишем $x^{4} + 4 x^{2} + 16$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.1

Перепишем средний член.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 - 4 x^{2} + 16)$

Этап 4.6.1.2

Переставляем члены.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 4 + 16 - 4 x^{2})$

Этап 4.6.1.3

Разложим первые три члена на множители, используя правило полного квадрата.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2})$

Этап 4.6.1.4

Перепишем $4 x^{2}$ в виде ${(2 x)}^{2}$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ({(x^{2} + 4)}^{2} - {(2 x)}^{2})$

Этап 4.6.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2} + 4$ и $b = 2 x$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 4 + 2 x) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Этап 4.6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1.6.1

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - (2 x)))$

Этап 4.6.1.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} + 4 - 2 x))$

Этап 4.6.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4))$

Этап 4.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) (x^{2} - 2 x + 4)$