Конечная математика Примеры

$f (x) = - 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$

Этап 1

Разложим $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

Этап 1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 4 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot 1 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 - 8 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 4 - 8 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.5

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 4 - 8 + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.6

Вычтем $8$ из $- 4$ .

$- 12 + 3 \cdot 1 + 9$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$- 12 + 3 + 9$

Этап 1.3.8

Добавим $- 12$ и $3$ .

$- 9 + 9$

Этап 1.3.9

Добавим $- 9$ и $9$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9}{x - 1}$

Этап 1.5

Разделим $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$8 x^{2}$

$3 x$

$9$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 12 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 12 x^{2} + 12 x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							-	$9 x$	+	$9$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x + 9$ .

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	-	$9$
$x$	-	$1$	-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$9 x$	+	$9$
							+	$9 x$	-	$9$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 4 x^{2} - 12 x - 9$

Этап 1.6

Запишем $- 4 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x + 9$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ , а сумма — $b = - 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $- 12$ из $- 12 x$ .

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 12 x - 9)$

Этап 2.1.1.2

Запишем $- 12$ как $- 6$ плюс $- 6$

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} + (- 6 - 6) x - 9)$

Этап 2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x) = (x - 1) (- 4 x^{2} - 6 x - 6 x - 9)$

Этап 2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f (x) = (x - 1) ((- 4 x^{2} - 6 x) - 6 x - 9)$

Этап 2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f (x) = (x - 1) (2 x (- 2 x - 3) + 3 (- 2 x - 3))$

Этап 2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x - 3$ .

$f (x) = (x - 1) ((- 2 x - 3) (2 x + 3))$

Этап 2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$f (x) = (x - 1) (- 2 x - 3) (2 x + 3)$