Конечная математика Примеры

$f (x) = 10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 188, \pm 2, \pm 94, \pm 4, \pm 47$

$q = \pm 1, \pm 10, \pm 2, \pm 5$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1, \pm 0.5, \pm 0.2, \pm 188, \pm 18.8, \pm 94, \pm 37.6, \pm 2, \pm 0.4, \pm 9.4, \pm 47, \pm 4, \pm 0.8, \pm 4.7, \pm 23.5$

Этап 3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$10 \cdot 2^{4} - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$10 \cdot 16 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.3

Умножим $10$ на $16$ .

$160 - 3 \cdot 2^{3} - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$160 - 3 \cdot 8 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.5

Умножим $- 3$ на $8$ .

$160 - 24 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.6

Вычтем $24$ из $160$ .

$136 - 63 \cdot 2^{2} + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.7

Возведем $2$ в степень $2$ .

$136 - 63 \cdot 4 + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.8

Умножим $- 63$ на $4$ .

$136 - 252 + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.9

Вычтем $252$ из $136$ .

$- 116 + 152 \cdot 2 - 188$

Этап 3.10

Умножим $152$ на $2$ .

$- 116 + 304 - 188$

Этап 3.11

Добавим $- 116$ и $304$ .

$188 - 188$

Этап 3.12

Вычтем $188$ из $188$ .

$0$

Этап 4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188}{x - 2}$

Этап 5

Разделим $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $10 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$10 x^{3}$
	$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			+	$10 x^{4}$	-	$20 x^{3}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $10 x^{4} - 20 x^{3}$ .

				$10 x^{3}$
$x$	-	$2$		$10 x^{4}$	-	$3 x^{3}$	-	$63 x^{2}$	+	$152 x$	-	$188$
			-	$10 x^{4}$	+	$20 x^{3}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$10 x^{3}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $17 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $17 x^{3} - 34 x^{2}$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 29 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 29 x^{2} + 58 x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $94 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $94 x - 188$ .

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$10 x^{3}$

$17 x^{2}$

$29 x$

$94$

$x$

$2$

$10 x^{4}$

$3 x^{3}$

$63 x^{2}$

$152 x$

$188$

$10 x^{4}$

$20 x^{3}$

$17 x^{3}$

$63 x^{2}$

$17 x^{3}$

$34 x^{2}$

$29 x^{2}$

$152 x$

$29 x^{2}$

$58 x$

$94 x$

$188$

$94 x$

$188$

$0$

Этап 5.21

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94$

Этап 6

Запишем $10 x^{4} - 3 x^{3} - 63 x^{2} + 152 x - 188$ в виде набора множителей.

$f (x) = (x - 2) (10 x^{3} + 17 x^{2} - 29 x + 94)$