Конечная математика Примеры

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} = - 42$

Этап 1

Добавим $42$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{2}{7}} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Этап 2

Перепишем $x^{\frac{2}{7}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{7}})}^{2}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{2} - 43 x^{\frac{1}{7}} + 42 = 0$

Этап 3

Пусть $u = x^{\frac{1}{7}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{7}}$ для всех.

$u^{2} - 43 u + 42 = 0$

Этап 4

Разложим $u^{2} - 43 u + 42$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $42$ , а сумма — $- 43$ .

$- 42, - 1$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 42) (u - 1) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{7}}$ .

$(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $x^{\frac{1}{7}} - 42$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{\frac{1}{7}} - 42$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{\frac{1}{7}} - 42 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $42$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{7}} = 42$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $7$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 42^{7}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 42^{7}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 42^{7}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 42^{7}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $42$ в степень $7$ .

$x = 230539333248$

Этап 8

Приравняем $x^{\frac{1}{7}} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x^{\frac{1}{7}} - 1$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $x^{\frac{1}{7}} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{7}} = 1$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $7$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 1^{7}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 1^{7}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 1^{7}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 1^{7}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = 1$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{\frac{1}{7}} - 42) (x^{\frac{1}{7}} - 1) = 0$ верно.

$x = 230539333248, 1$