Конечная математика Примеры

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{x}{x + 4} - \frac{1}{x + 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{x}{x + 4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} - 1 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{x + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 4) (x + 1)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{x}{x + 4}$ на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{x + 1}$ на $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 4) (x + 1)$ .

$\frac{x (x + 1)}{(x + 1) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (x + 1) - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + x - (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{x^{2} + x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.6

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.7

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 4}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.8

Перепишем $x^{2} - 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.5.8.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 1) (x + 4)} + \frac{- ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - ((x + 1) (x + 4))}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x + 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1 \cdot 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - 1) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.6

Развернем $(- x - 1) (x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 4) - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 (x + 4)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.7.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - 1 x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 1 \cdot 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 4 x - x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.7.2

Вычтем $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.8

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.9

Вычтем $4$ из $0$ .

$\frac{- 4 - 5 x - 4}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.9.10

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$\frac{- 5 x - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 x$ .

$\frac{- (5 x) - 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.11

Перепишем $- 8$ в виде $- 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x) - 1 (8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (5 x) - 1 (8)$ .

$\frac{- (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.13

Перепишем $- (5 x + 8)$ в виде $- 1 (5 x + 8)$ .

$\frac{- 1 (5 x + 8)}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 2.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 x + 8}{(x + 1) (x + 4)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$5 x + 8 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$5 x = - 8$

Этап 4.2

Разделим каждый член $5 x = - 8$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $5 x = - 8$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 8}{5}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{5}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{8}{5}$