Конечная математика Примеры

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} = 16$

Этап 1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}} - 16 = 0$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{{(x + 2)}^{2}}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(x + 2)}^{\frac{2}{3}} - 16 = 0$

Этап 3

Перепишем ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ в виде ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 16 = 0$

Этап 4

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4^{2} = 0$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}$ и $b = 4$ .

$({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Этап 7

Приравняем ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4$ к $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$

Этап 7.2

Решим ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = - 4$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 4)}^{3}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 4)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} = {(- 4)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$x + 2 = {(- 4)}^{3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$x + 2 = - 64$

Этап 7.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 64 - 2$

Этап 7.2.4.2

Вычтем $2$ из $- 64$ .

$x = - 66$

Этап 8

Приравняем ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4$ к $0$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Этап 8.2

Решим ${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3}} = 4$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 4^{3}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 4^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(x + 2)}^{1} = 4^{3}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$x + 2 = 4^{3}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$x + 2 = 64$

Этап 8.2.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = 64 - 2$

Этап 8.2.4.2

Вычтем $2$ из $64$ .

$x = 62$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} + 4) ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}} - 4) = 0$ верно.

$x = - 66, 62$