Конечная математика Примеры

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3 y + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $3$ из $3 y + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 y$ .

$\sqrt{3 (y) + 9} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\sqrt{3 y + 3 \cdot 3} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 y + 3 \cdot 3$ .

$\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$

Этап 3

Перенесем все члены без $\sqrt{3 (y + 3)}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $\sqrt{y + 16}$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3 (y + 3)} - 1 = \sqrt{y + 16}$

Этап 3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{3 (y + 3)} = \sqrt{y + 16} + 1$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 (y + 3)}}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 (y + 3)}$ в виде ${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 (y + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 (y + 3))}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

${(3 y + 3 \cdot 3)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $3$ на $3$ .

${(3 y + 9)}^{1} = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Упростим.

$3 y + 9 = {(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(\sqrt{y + 16} + 1)}^{2}$ в виде $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ .

$3 y + 9 = (\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(\sqrt{y + 16} + 1) (\sqrt{y + 16} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} (\sqrt{y + 16} + 1) + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 (\sqrt{y + 16} + 1)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y + 9 = \sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Умножим $\sqrt{y + 16} \sqrt{y + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1.1

Возведем $\sqrt{y + 16}$ в степень $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.1.2

Возведем $\sqrt{y + 16}$ в степень $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1} {\sqrt{y + 16}}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{1 + 1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y + 9 = {\sqrt{y + 16}}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{y + 16}}^{2}$ в виде $y + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 16}$ в виде ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y + 9 = {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3 y + 9 = {(y + 16)}^{1} + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.2.5

Упростим.

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} \cdot 1 + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{y + 16}$ на $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + 1 \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $\sqrt{y + 16}$ на $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1 \cdot 1$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $1$ на $1$ .

$3 y + 9 = y + 16 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16} + 1$

Этап 5.3.1.3.2

Добавим $16$ и $1$ .

$3 y + 9 = y + 17 + \sqrt{y + 16} + \sqrt{y + 16}$

Этап 5.3.1.3.3

Добавим $\sqrt{y + 16}$ и $\sqrt{y + 16}$ .

$3 y + 9 = y + 17 + 2 \sqrt{y + 16}$

Этап 6

Решим относительно $2 \sqrt{y + 16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$ .

$y + 17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $2 \sqrt{y + 16}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$17 + 2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y$

Этап 6.2.2

Вычтем $17$ из обеих частей уравнения.

$2 \sqrt{y + 16} = 3 y + 9 - y - 17$

Этап 6.2.3

Вычтем $y$ из $3 y$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y + 9 - 17$

Этап 6.2.4

Вычтем $17$ из $9$ .

$2 \sqrt{y + 16} = 2 y - 8$

Этап 7

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 \sqrt{y + 16})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y + 16}$ в виде ${(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим ${(2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Применим правило умножения к $2 {(y + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 {({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${({(y + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 {(y + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 {(y + 16)}^{1} = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.4

Упростим.

$4 (y + 16) = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 4 \cdot 16 = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.2.1.6

Умножим $4$ на $16$ .

$4 y + 64 = {(2 y - 8)}^{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим ${(2 y - 8)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Перепишем ${(2 y - 8)}^{2}$ в виде $(2 y - 8) (2 y - 8)$ .

$4 y + 64 = (2 y - 8) (2 y - 8)$

Этап 8.3.1.2

Развернем $(2 y - 8) (2 y - 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 64 = 2 y (2 y - 8) - 8 (2 y - 8)$

Этап 8.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y - 8)$

Этап 8.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y + 64 = 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y + 64 = 2 \cdot 2 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} + 2 y \cdot - 8 - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.4

Умножим $- 8$ на $2$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 8 (2 y) - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y - 8 \cdot - 8$

Этап 8.3.1.3.1.6

Умножим $- 8$ на $- 8$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 16 y - 16 y + 64$

Этап 8.3.1.3.2

Вычтем $16 y$ из $- 16 y$ .

$4 y + 64 = 4 y^{2} - 32 y + 64$

Этап 9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$4 y^{2} - 32 y + 64 = 4 y + 64$

Этап 9.2

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $4 y$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - 32 y + 64 - 4 y = 64$

Этап 9.2.2

Вычтем $4 y$ из $- 32 y$ .

$4 y^{2} - 36 y + 64 = 64$

Этап 9.3

Вычтем $64$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - 36 y + 64 - 64 = 0$

Этап 9.4

Объединим противоположные члены в $4 y^{2} - 36 y + 64 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $64$ из $64$ .

$4 y^{2} - 36 y + 0 = 0$

Этап 9.4.2

Добавим $4 y^{2} - 36 y$ и $0$ .

$4 y^{2} - 36 y = 0$

Этап 9.5

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y^{2} - 36 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y^{2}$ .

$4 y (y) - 36 y = 0$

Этап 9.5.2

Вынесем множитель $4 y$ из $- 36 y$ .

$4 y (y) + 4 y (- 9) = 0$

Этап 9.5.3

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y (y) + 4 y (- 9)$ .

$4 y (y - 9) = 0$

Этап 9.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y = 0$

$y - 9 = 0$

Этап 9.7

Приравняем $y$ к $0$ .

$y = 0$

Этап 9.8

Приравняем $y - 9$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.8.1

Приравняем $y - 9$ к $0$ .

$y - 9 = 0$

Этап 9.8.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$y = 9$

Этап 9.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 y (y - 9) = 0$ верно.

$y = 0, 9$

Этап 10

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{3 (y + 3)} - \sqrt{y + 16} - 1 = 0$ истинным.

$y = 9$