Конечная математика Примеры

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} = 15 \sqrt{x}$

Этап 1

Вычтем $15 \sqrt{x}$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Этап 2

Упростим $\sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Этап 2.1.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Этап 2.1.1.3

Перепишем многочлен.

$\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Этап 2.1.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - 5 + 12 \sqrt{x} - 15 \sqrt{x} = 0$

Этап 2.2

Вычтем $15 \sqrt{x}$ из $12 \sqrt{x}$ .

$x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$

Этап 3

Перенесем все члены без $- 3 \sqrt{x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- 5 - 3 \sqrt{x} = - x$

Этап 3.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$- 3 \sqrt{x} = - x + 5$

Этап 4

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(- 3 \sqrt{x})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- 3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Применим правило умножения к $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 3)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2.1.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 x^{1} = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.2.1.4

Упростим.

$9 x = {(- x + 5)}^{2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим ${(- x + 5)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем ${(- x + 5)}^{2}$ в виде $(- x + 5) (- x + 5)$ .

$9 x = (- x + 5) (- x + 5)$

Этап 5.3.1.2

Развернем $(- x + 5) (- x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = - x (- x + 5) + 5 (- x + 5)$

Этап 5.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x + 5)$

Этап 5.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x = - x (- x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$9 x = 1 x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$9 x = x^{2} - x \cdot 5 + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$9 x = x^{2} - 5 x + 5 (- x) + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 5 \cdot 5$

Этап 5.3.1.3.1.7

Умножим $5$ на $5$ .

$9 x = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Этап 5.3.1.3.2

Вычтем $5 x$ из $- 5 x$ .

$9 x = x^{2} - 10 x + 25$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$x^{2} - 10 x + 25 = 9 x$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 10 x + 25 - 9 x = 0$

Этап 6.2.2

Вычтем $9 x$ из $- 10 x$ .

$x^{2} - 19 x + 25 = 0$

Этап 6.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 19$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $- 19$ в степень $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.3

Вычтем $100$ из $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $- 19$ в степень $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.3

Вычтем $100$ из $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Возведем $- 19$ в степень $2$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{361 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.3

Вычтем $100$ из $361$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{261}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4

Перепишем $261$ в виде $3^{2} \cdot 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $261$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{9 (29)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \frac{19 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{19 \pm 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 6.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}, \frac{19 - 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 7

Исключим решения, которые не делают $x - 5 - 3 \sqrt{x} = 0$ истинным.

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{19 + 3 \sqrt{29}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 17.57774721 \dots$