Конечная математика Примеры

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\log_{2} (x) - \log_{2} (x - 2) - 3 = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) - 3 = 0$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$

Этап 4

Перепишем $\log_{2} (\frac{x}{x - 2}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{x}{x - 2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$ .

$\frac{x}{x - 2} = 2^{3}$

Этап 5.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{x}{x - 2} = 8$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 2, 1$

Этап 5.3.2

Избавимся от скобок.

$x - 2, 1$

Этап 5.3.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x - 2$

Этап 5.4

Каждый член в $\frac{x}{x - 2} = 8$ умножим на $x - 2$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 2} = 8$ на $x - 2$ .

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 2} (x - 2) = 8 (x - 2)$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 8 (x - 2)$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 8 x + 8 \cdot - 2$

Этап 5.4.3.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$x = 8 x - 16$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Вычтем $8 x$ из обеих частей уравнения.

$x - 8 x = - 16$

Этап 5.5.1.2

Вычтем $8 x$ из $x$ .

$- 7 x = - 16$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $- 7 x = - 16$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $- 7 x = - 16$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 7}$

Этап 5.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{16}{7}$