Конечная математика Примеры

$7^{2 x} + 7^{x} - 30 = 0$

Этап 1

Перепишем $7^{2 x}$ в виде ${(7^{x})}^{2}$ .

${(7^{x})}^{2} + 7^{x} - 30 = 0$

Этап 2

Пусть $u = 7^{x}$ . Подставим $u$ вместо $7^{x}$ для всех.

$u^{2} + u - 30 = 0$

Этап 3

Разложим $u^{2} + u - 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 30$ , а сумма — $1$ .

$- 5, 6$

Этап 3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u + 6) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $7^{x}$ .

$(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

$7^{x} + 6 = 0$

Этап 6

Приравняем $7^{x} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $7^{x} - 5$ к $0$ .

$7^{x} - 5 = 0$

Этап 6.2

Решим $7^{x} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$7^{x} = 5$

Этап 6.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (5)$

Этап 6.2.3

Развернем $\ln (7^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (7) = \ln (5)$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (5)$ на $\ln (7)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (7) = \ln (5)$ на $\ln (7)$ .

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (7)}{\ln (7)} = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$

Этап 7

Приравняем $7^{x} + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $7^{x} + 6$ к $0$ .

$7^{x} + 6 = 0$

Этап 7.2

Решим $7^{x} + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$7^{x} = - 6$

Этап 7.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (7^{x}) = \ln (- 6)$

Этап 7.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 6)$ не определено.

Неопределенные

Этап 7.2.4

Нет решения для $7^{x} = - 6$

Нет решения

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(7^{x} - 5) (7^{x} + 6) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (5)}{\ln (7)}$