Конечная математика Примеры

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Этап 2

Упростим $\frac{2 x}{x + 2} + \frac{x + 2}{2 x} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{2 x}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} - 2 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{x + 2}{2 x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{2 x}{2 x} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) \cdot 2 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{2 x}{x + 2}$ на $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{x + 2}{2 x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - 2 = 0$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{x + 2}{2 x}$ на $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 x (2 x)}{(x + 2) (2 x)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(x + 2) (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x)}{2 x (x + 2)} + \frac{(x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x (2 x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + (x + 2) (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.4

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + x (x + 2) + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 x^{2} + x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.5.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 2 x + 2 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.5.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{4 x^{2} + x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.5.6

Добавим $4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} - 2 \cdot \frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.7

Объединим $- 2$ и $\frac{2 x (x + 2)}{2 x (x + 2)}$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4}{2 x (x + 2)} + \frac{- 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 2 (2 x (x + 2))}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x (x + 2)}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 2}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.4

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{5 x^{2} + 4 x + 4 - 4 x^{2} - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.5

Вычтем $4 x^{2}$ из $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 4 - 8 x}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.6

Вычтем $8 x$ из $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 4}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.7

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.7.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.7.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 2.9.7.3

Перепишем многочлен.

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 2.9.7.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{2 x (x + 2)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$