Конечная математика Примеры

\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} = 1$

Этап 1

Вычтем

1

$1$ из обеих частей уравнения.

\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Этап 2

Упростим

\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель

x

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{1 x} + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Этап 2.1.1.2

Разделим

$2$ на

$1$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1} - 1 = 0$

Этап 2.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$2 + \frac{x + 3}{x^{2} - 1^{2}} - 1 = 0$

Этап 2.1.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = x$ и

$b = 1$ .

$2 + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.2

Чтобы записать

$2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$2 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.3

Объединим

$2$ и

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 ((x + 1) (x - 1)) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 1) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$\frac{(2 x + 2) (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.3

Развернем

$(2 x + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (x - 1) + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 (x - 1) + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1.1

Перенесем

$x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4.1.1.2

Умножим

$x$ на

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4.1.2

Умножим

$- 1$ на

$2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4.1.3

Умножим

$2$ на

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4.2

Добавим

$- 2 x$ и

$2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.4.3

Добавим

$2 x^{2}$ и

$0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 + x + 3}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.5.5

Добавим

$- 2$ и

$3$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 = 0$

Этап 2.6

Чтобы записать

$- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - 1 \cdot \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.7

Объединим

$- 1$ и

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{- ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1 \cdot 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.2

Умножим

$- 1$ на

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 + (- x - 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.3

Развернем

$(- x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x (x - 1) - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1.1

Умножим

$x$ на

$x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1.1.1

Перенесем

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.1.1.2

Умножим

$x$ на

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} - x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.1.2

Умножим

$- x \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1.2.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.1.2.2

Умножим

$x$ на

$1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - 1 x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.1.3

Перепишем

$- 1 x$ в виде

$- x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x - 1 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.1.4

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + x - x + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.2

Вычтем

$x$ из

$x$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 0 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.4.3

Добавим

$- x^{2}$ и

$0$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 1 - x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.5

Вычтем

$x^{2}$ из

$2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + x + 1 + 1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 2.9.6

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{x^{2} + x + 2}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$x^{2} + x + 2 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно

$x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2

Подставим значения

$a = 1$ ,

$b = 1$ и

$c = 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно

$x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.3

Вычтем

$8$ из

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.4

Перепишем

$- 7$ в виде

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (7)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.3.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$+$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.3

Вычтем

$8$ из

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.4

Перепишем

$- 7$ в виде

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (7)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.4.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.4.3

Заменим

$\pm$ на

$+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.4.4

Перепишем

$- 1$ в виде

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.4.5

Вынесем множитель

$- 1$ из

$i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Этап 4.4.6

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Этап 4.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части

$-$ значения

$\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2

Умножим

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Умножим

$- 4$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим

$- 4$ на

$2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.3

Вычтем

$8$ из

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.4

Перепишем

$- 7$ в виде

$- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.5

Перепишем

$\sqrt{- 1 (7)}$ в виде

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.1.6

Перепишем

$\sqrt{- 1}$ в виде

$i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 4.5.2

Умножим

$2$ на

$1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.5.3

Заменим

$\pm$ на

$-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.5.4

Перепишем

$- 1$ в виде

$- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.5.5

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Этап 4.5.6

Вынесем множитель

$- 1$ из

$- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Этап 4.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Этап 4.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$