Конечная математика Примеры

$2^{2 x} - 2^{x + 2} - 12 = 0$

Этап 1

Изменим порядок членов.

$2^{2 x} - 12 - 2^{x + 2} = 0$

Этап 2

Перепишем $2^{x + 2}$ в виде $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Этап 3

Перепишем $2^{2 x}$ в виде степенного выражения.

${(2^{x})}^{2} - 12 - (2^{x} \cdot 2^{2}) = 0$

Этап 4

Избавимся от скобок.

${(2^{x})}^{2} - 12 - 2^{x} \cdot 2^{2} = 0$

Этап 5

Подставим $u$ вместо $2^{x}$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 2^{2} = 0$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$u^{2} - 12 - u \cdot 4 = 0$

Этап 6.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$u^{2} - 12 - 4 u = 0$

Этап 7

Перенесем $- 12$ .

$u^{2} - 4 u - 12 = 0$

Этап 8

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разложим $u^{2} - 4 u - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 8.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 6) (u + 2) = 0$

Этап 8.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$u - 6 = 0$

$u + 2 = 0$

Этап 8.3

Приравняем $u - 6$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $u - 6$ к $0$ .

$u - 6 = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$u = 6$

Этап 8.4

Приравняем $u + 2$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Приравняем $u + 2$ к $0$ .

$u + 2 = 0$

Этап 8.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$u = - 2$

Этап 8.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(u - 6) (u + 2) = 0$ верно.

$u = 6, - 2$

Этап 9

Подставим $6$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$6 = 2^{x}$

Этап 10

Решим $6 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = 6$ .

$2^{x} = 6$

Этап 10.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (6)$

Этап 10.3

Развернем $\ln (2^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (2) = \ln (6)$

Этап 10.4

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (6)$ на $\ln (2)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Разделим каждый член $x \ln (2) = \ln (6)$ на $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Этап 10.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Этап 10.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$

Этап 11

Подставим $- 2$ вместо $u$ в $u = 2^{x}$ .

$- 2 = 2^{x}$

Этап 12

Решим $- 2 = 2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем уравнение в виде $2^{x} = - 2$ .

$2^{x} = - 2$

Этап 12.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Этап 12.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 2)$ не определено.

Неопределенные

Этап 12.4

Нет решения для $2^{x} = - 2$

Нет решения

Этап 13

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$x = \frac{\ln (6)}{\ln (2)}$