Конечная математика Примеры

${(x + 2)}^{3} = x^{2} + 8$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x^{2}$ из обеих частей уравнения.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} = 8$

Этап 1.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2

Упростим ${(x + 2)}^{3} - x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot 2 + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 2^{3} - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.1.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 - x^{2} - 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $8$ из $8$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} + 0 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2}$ и $0$ .

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x - x^{2} = 0$

Этап 2.3

Вычтем $x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$x^{3} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} + 5 x^{2} + 12 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 12 x = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + 12 x = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $12 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 12 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12 = 0$

Этап 3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 12$ .

$x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Этап 5

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Приравняем $x^{2} + 5 x + 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x^{2} + 5 x + 12$ к $0$ .

$x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Этап 6.2

Решим $x^{2} + 5 x + 12 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 5$ и $c = 12$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 12)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.4.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- i \sqrt{23})}{2}$

Этап 6.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (- i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 - i \sqrt{23})}{2}$

Этап 6.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.3

Вычтем $48$ из $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.4

Перепишем $- 23$ в виде $- 1 (23)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (23)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.5.4

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{23}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (i \sqrt{23})}{2}$

Этап 6.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (i \sqrt{23})$ .

$x = \frac{- 1 (5 + i \sqrt{23})}{2}$

Этап 6.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x^{2} + 5 x + 12) = 0$ верно.

$x = 0, - \frac{5 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{5 + i \sqrt{23}}{2}$