Конечная математика Примеры

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} = - 41$

Этап 1

Добавим $41$ к обеим частям уравнения.

${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2

Упростим ${(1 - y)}^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем ${(1 - y)}^{2}$ в виде $(1 - y) (1 - y)$ .

$(1 - y) (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2

Развернем $(1 - y) (1 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Умножим $- y$ на $1$ .

$1 - y - y \cdot 1 - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - y - y - y (- y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - y - y + 1 y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.1.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$1 - y - y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + (1 - y) y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - 2 y + y^{2} + 1 y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.5

Умножим $y$ на $1$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y \cdot y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.6

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Перенесем $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - (y \cdot y) - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.1.6.2

Умножим $y$ на $y$ .

$1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.2

Объединим противоположные члены в $1 - 2 y + y^{2} + y - y^{2} - y^{2} + 41$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $y^{2}$ из $y^{2}$ .

$1 - 2 y + y + 0 - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $1 - 2 y + y$ и $0$ .

$1 - 2 y + y - y^{2} + 41 = 0$

Этап 2.3

Добавим $1$ и $41$ .

$- 2 y + y - y^{2} + 42 = 0$

Этап 2.4

Добавим $- 2 y$ и $y$ .

$- y - y^{2} + 42 = 0$

Этап 3

Пусть $u = y$ . Подставим $u$ вместо $y$ для всех.

$- u - u^{2} + 42 = 0$

Этап 4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$- u^{2} - u + 42 = 0$

Этап 4.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 42 = - 42$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$- u^{2} - (u) + 42 = 0$

Этап 4.2.2

Запишем $- 1$ как $6$ плюс $- 7$

$- u^{2} + (6 - 7) u + 42 = 0$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- u^{2} + 6 u - 7 u + 42 = 0$

Этап 4.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(- u^{2} + 6 u) - 7 u + 42 = 0$

Этап 4.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (- u + 6) + 7 (- u + 6) = 0$

Этап 4.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u + 7) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$(- y + 6) (y + 7) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- y + 6 = 0$

$y + 7 = 0$

Этап 7

Приравняем $- y + 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- y + 6$ к $0$ .

$- y + 6 = 0$

Этап 7.2

Решим $- y + 6 = 0$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- y = - 6$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- y = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- y = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$y = 6$

Этап 8

Приравняем $y + 7$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $y + 7$ к $0$ .

$y + 7 = 0$

Этап 8.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$y = - 7$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(- y + 6) (y + 7) = 0$ верно.

$y = 6, - 7$