Конечная математика Примеры

$\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, 1, x - 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

НОК $x - 1, x - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x - 1$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ умножим на $x - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ на $x - 1$ .

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x - 1} (x - 1) = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 x (x - 1) + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$x = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 3 x^{2} - 3 x + \frac{1}{x - 1} (x - 1)$

Этап 2.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 3 x^{2} - 3 x + 1$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$3 x^{2} - 3 x + 1 = x$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$3 x^{2} - 3 x + 1 - x = 0$

Этап 3.2.2

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$3 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

Этап 3.3.1.2

Запишем $- 4$ как $- 1$ плюс $- 3$

$3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1 = 0$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1 = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x - 1) - (3 x - 1) = 0$

Этап 3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x - 1) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 3.5

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 3.5.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 3.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 3.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 3.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 3.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x - 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\frac{x}{x - 1} = 3 x + \frac{1}{x - 1}$ истинным.

$x = \frac{1}{3}$

Этап 5