Конечная математика Примеры

$6 e^{x} = 9 - e^{- x}$

Этап 1

Добавим $e^{- x}$ к обеим частям уравнения.

$6 e^{x} + e^{- x} = 9$

Этап 2

Перепишем $e^{- x}$ в виде степенного выражения.

$6 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 9$

Этап 3

Подставим $u$ вместо $e^{x}$ .

$6 u + u^{- 1} = 9$

Этап 4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 u + \frac{1}{u} = 9$

Этап 5

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$u$

Этап 5.2

Каждый член в $6 u + \frac{1}{u} = 9$ умножим на $u$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $6 u + \frac{1}{u} = 9$ на $u$ .

$6 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 9 u$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Умножим $u$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Перенесем $u$ .

$6 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 9 u$

Этап 5.2.2.1.1.2

Умножим $u$ на $u$ .

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 u^{2} + \frac{1}{u} u = 9 u$

Этап 5.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$6 u^{2} + 1 = 9 u$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $9 u$ из обеих частей уравнения.

$6 u^{2} + 1 - 9 u = 0$

Этап 5.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3.3

Подставим значения $a = 6$ , $b = - 9$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot 1)}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 6 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 6 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24 \cdot 1}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.4.1.2.2

Умножим $- 24$ на $1$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 24}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.4.1.3

Вычтем $24$ из $81$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 6}$

Этап 5.3.4.2

Умножим $2$ на $6$ .

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Этап 5.3.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}, \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Этап 6

Подставим $\frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Этап 7

Решим $\frac{9 + \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 + \sqrt{57}}{12}$

Этап 7.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Этап 7.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Этап 7.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Этап 7.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{9 + \sqrt{57}}{12})$

Этап 8

Подставим $\frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ вместо $u$ в $u = e^{x}$ .

$\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$

Этап 9

Решим $\frac{9 - \sqrt{57}}{12} = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем уравнение в виде $e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$ .

$e^{x} = \frac{9 - \sqrt{57}}{12}$

Этап 9.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Этап 9.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Этап 9.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Этап 9.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{9 - \sqrt{57}}{12})$

Этап 10

Перечислим решения, делающие уравнение истинным.

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$u = \frac{9 \pm \sqrt{57}}{12}$

Десятичная форма:

$u = 1.37915286 \dots, 0.12084713 \dots$

Этап 12