Конечная математика Примеры

$8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

Этап 1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 12, \pm 1.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75, \pm 0.375, \pm 4$

Этап 1.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$8 {(- 0.5)}^{3} - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$8 \cdot - 0.125 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.3

Умножим $8$ на $- 0.125$ .

$- 1 - 34 {(- 0.5)}^{2} + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 1 - 34 \cdot 0.25 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.5

Умножим $- 34$ на $0.25$ .

$- 1 - 8.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.6

Вычтем $8.5$ из $- 1$ .

$- 9.5 + 5 \cdot - 0.5 + 12$

Этап 1.1.3.7

Умножим $5$ на $- 0.5$ .

$- 9.5 - 2.5 + 12$

Этап 1.1.3.8

Вычтем $2.5$ из $- 9.5$ .

$- 12 + 12$

Этап 1.1.3.9

Добавим $- 12$ и $12$ .

$0$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12}{2 x + 1}$

Этап 1.1.5

Разделим $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$34 x^{2}$

$5 x$

$12$

Этап 1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$4 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$

Этап 1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			+	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$

Этап 1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 38 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$

Этап 1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$38 x^{2}$	-	$19 x$

Этап 1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 38 x^{2} - 19 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$

Этап 1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$

Этап 1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

Этап 1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$

Этап 1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							+	$24 x$	+	$12$

Этап 1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x + 12$ .

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$

Этап 1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	-	$19 x$	+	$12$
$2 x$	+	$1$		$8 x^{3}$	-	$34 x^{2}$	+	$5 x$	+	$12$
			-	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$38 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$38 x^{2}$	+	$19 x$
							+	$24 x$	+	$12$
							-	$24 x$	-	$12$
										$0$

Этап 1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} - 19 x + 12$

Этап 1.1.6

Запишем $8 x^{3} - 34 x^{2} + 5 x + 12$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 12 = 48$ , а сумма — $b = - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 19$ из $- 19 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 19 x + 12) = 0$

Этап 1.2.1.1.2

Запишем $- 19$ как $- 3$ плюс $- 16$

$(2 x + 1) (4 x^{2} + (- 3 - 16) x + 12) = 0$

Этап 1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 3 x - 16 x + 12) = 0$

Этап 1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x + 1) ((4 x^{2} - 3 x) - 16 x + 12) = 0$

Этап 1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x + 1) (x (4 x - 3) - 4 (4 x - 3)) = 0$

Этап 1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 3$ .

$(2 x + 1) ((4 x - 3) (x - 4)) = 0$

Этап 1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$4 x - 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $4 x - 3$ к $0$ .

$4 x - 3 = 0$

Этап 4.2

Решим $4 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 3$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 3$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{4}$

Этап 5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (4 x - 3) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 4$

Этап 7