Конечная математика Примеры

Определить корни (нули) x^4-3x^3-18x^2-18x-4=0
Этап 1
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Перегруппируем члены.
Этап 1.2
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 1.3
Разложим на множители, используя теорему о рациональных корнях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид , где  — делитель константы, а  — делитель старшего коэффициента.
Этап 1.3.2
Найдем все комбинации . Это ― возможные корни многочлена.
Этап 1.3.3
Подставим и упростим выражение. В этом случае выражение равно , поэтому является корнем многочлена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.3.1
Подставим в многочлен.
Этап 1.3.3.2
Возведем в степень .
Этап 1.3.3.3
Возведем в степень .
Этап 1.3.3.4
Умножим на .
Этап 1.3.3.5
Добавим и .
Этап 1.3.3.6
Вычтем из .
Этап 1.3.4
Поскольку  — известный корень, разделим многочлен на , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.
Этап 1.3.5
Разделим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.5.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
+-++-
Этап 1.3.5.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+-++-
Этап 1.3.5.3
Умножим новое частное на делитель.
+-++-
++
Этап 1.3.5.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+-++-
--
Этап 1.3.5.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+-++-
--
-
Этап 1.3.5.6
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
+-++-
--
-+
Этап 1.3.5.7
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
-
+-++-
--
-+
Этап 1.3.5.8
Умножим новое частное на делитель.
-
+-++-
--
-+
--
Этап 1.3.5.9
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
-
+-++-
--
-+
++
Этап 1.3.5.10
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
-
+-++-
--
-+
++
+
Этап 1.3.5.11
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
-
+-++-
--
-+
++
++
Этап 1.3.5.12
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
-+
+-++-
--
-+
++
++
Этап 1.3.5.13
Умножим новое частное на делитель.
-+
+-++-
--
-+
++
++
++
Этап 1.3.5.14
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
-+
+-++-
--
-+
++
++
--
Этап 1.3.5.15
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
-+
+-++-
--
-+
++
++
--
-
Этап 1.3.5.16
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
-+
+-++-
--
-+
++
++
--
--
Этап 1.3.5.17
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
-+-
+-++-
--
-+
++
++
--
--
Этап 1.3.5.18
Умножим новое частное на делитель.
-+-
+-++-
--
-+
++
++
--
--
--
Этап 1.3.5.19
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
-+-
+-++-
--
-+
++
++
--
--
++
Этап 1.3.5.20
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
-+-
+-++-
--
-+
++
++
--
--
++
Этап 1.3.5.21
Поскольку остаток равен , окончательным ответом является частное.
Этап 1.3.6
Запишем в виде набора множителей.
Этап 1.4
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 1.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.5
Добавим и .
Этап 1.6
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1
Разложим на множители, используя теорему о рациональных корнях.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1.1
Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид , где  — делитель константы, а  — делитель старшего коэффициента.
Этап 1.6.1.2
Найдем все комбинации . Это ― возможные корни многочлена.
Этап 1.6.1.3
Подставим и упростим выражение. В этом случае выражение равно , поэтому является корнем многочлена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1.3.1
Подставим в многочлен.
Этап 1.6.1.3.2
Возведем в степень .
Этап 1.6.1.3.3
Возведем в степень .
Этап 1.6.1.3.4
Умножим на .
Этап 1.6.1.3.5
Вычтем из .
Этап 1.6.1.3.6
Умножим на .
Этап 1.6.1.3.7
Добавим и .
Этап 1.6.1.3.8
Вычтем из .
Этап 1.6.1.4
Поскольку  — известный корень, разделим многочлен на , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.
Этап 1.6.1.5
Разделим на .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.6.1.5.1
Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением .
+---
Этап 1.6.1.5.2
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
+---
Этап 1.6.1.5.3
Умножим новое частное на делитель.
+---
++
Этап 1.6.1.5.4
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
+---
--
Этап 1.6.1.5.5
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
+---
--
-
Этап 1.6.1.5.6
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
+---
--
--
Этап 1.6.1.5.7
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
-
+---
--
--
Этап 1.6.1.5.8
Умножим новое частное на делитель.
-
+---
--
--
--
Этап 1.6.1.5.9
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
-
+---
--
--
++
Этап 1.6.1.5.10
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
-
+---
--
--
++
-
Этап 1.6.1.5.11
Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.
-
+---
--
--
++
--
Этап 1.6.1.5.12
Разделим член с максимальной степенью в делимом на член с максимальной степенью в делителе .
--
+---
--
--
++
--
Этап 1.6.1.5.13
Умножим новое частное на делитель.
--
+---
--
--
++
--
--
Этап 1.6.1.5.14
Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в .
--
+---
--
--
++
--
++
Этап 1.6.1.5.15
После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.
--
+---
--
--
++
--
++
Этап 1.6.1.5.16
Поскольку остаток равен , окончательным ответом является частное.
Этап 1.6.1.6
Запишем в виде набора множителей.
Этап 1.6.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 2
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 3
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Приравняем к .
Этап 3.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Приравняем к .
Этап 4.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Приравняем к .
Этап 5.2
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Этап 5.2.2
Подставим значения , и в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно .
Этап 5.2.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1.1
Возведем в степень .
Этап 5.2.3.1.2
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1.2.1
Умножим на .
Этап 5.2.3.1.2.2
Умножим на .
Этап 5.2.3.1.3
Добавим и .
Этап 5.2.3.1.4
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.3.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.3.1.4.2
Перепишем в виде .
Этап 5.2.3.1.5
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 5.2.3.2
Умножим на .
Этап 5.2.3.3
Упростим .
Этап 5.2.4
Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.
Этап 6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 7
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма:
Этап 8