Конечная математика Примеры

$X^{2} + X + 1 = 0$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$X^{2} + X = - 1$

Этап 2

Чтобы получить квадратный трехчлен в левой части уравнение, найдем значение, равное квадрату половины $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 3

Прибавим это слагаемое к каждой части уравнения.

$X^{2} + X + {(\frac{1}{2})}^{2} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1^{2}}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$X^{2} + X + \frac{1}{2^{2}} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 4 + 1}{4}$

Этап 4.2.1.5.2

Добавим $- 4$ и $1$ .

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = \frac{- 3}{4}$

Этап 4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$X^{2} + X + \frac{1}{4} = - \frac{3}{4}$

Этап 5

Разложим полный квадрат трехчлена на ${(X + \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(X + \frac{1}{2})}^{2} = - \frac{3}{4}$

Этап 6

Решим уравнение относительно $X$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $- \frac{3}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

Этап 6.2.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $3$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.2.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

Этап 6.2.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

Этап 6.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{i}{2}$ и $\sqrt{3}$ .

$X + \frac{1}{2} = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $X$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$X = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2

Изменим порядок $\pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$ и $- \frac{1}{2}$ .

$X = - \frac{1}{2} \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$