Конечная математика Примеры

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4$ к $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 4 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 3 x^{3} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x^{3}$ .

$- 3 x \cdot x^{2} + 3 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 3 x$ из $3 x$ .

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 1 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 3 x$ из $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 1)$ .

$- 3 x (x^{2} - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 3 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 3 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 5 u + 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $4$ , а сумма — $- 5$ .

$- 4, - 1$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.10

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.1.11

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.13

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $- 3 x (x + 1) (x - 1) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $- 3 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 2.1.13.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.13.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (- 3 x) + (x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x - 2))$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.14

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.15

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.15.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.15.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x \cdot x + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.16.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 3 x + x^{2} - 4) = 0$

Этап 2.1.17

Изменим порядок членов.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Этап 2.1.18

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.18.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.18.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.1.18.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x - 1) ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.18.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (x - 4) (x + 1) = 0$

Этап 2.1.19

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.19.1

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 2.1.19.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x + 1) (x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 2.1.19.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(x + 1)}^{1 + 1} (x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 2.1.19.4

Добавим $1$ и $1$ .

${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 1)}^{2} (x - 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, 4$

Этап 3