Конечная математика Примеры

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$

Этап 1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$

Этап 2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} - \sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{\sqrt{2} + \sqrt{5}}$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{(\sqrt{2} - \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}$

Этап 2.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{10} - \sqrt{10} - {\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{2} + \sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1} {(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1}}{- 3}$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{1 + 1}}{- 3}$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}}{- 3}$

Этап 4

Перепишем ${(\sqrt{2} + \sqrt{5})}^{2}$ в виде $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ .

$\frac{(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Этап 5

Развернем $(\sqrt{2} + \sqrt{5}) (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} (\sqrt{2} + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} (\sqrt{2} + \sqrt{5})}{- 3}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{4} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + \sqrt{2} \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{2 \cdot 5} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.6

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 2} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.8

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5} \sqrt{5}}{- 3}$

Этап 6.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5 \cdot 5}}{- 3}$

Этап 6.1.10

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{25}}{- 3}$

Этап 6.1.11

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + \sqrt{5^{2}}}{- 3}$

Этап 6.1.12

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{2 + \sqrt{10} + \sqrt{10} + 5}{- 3}$

Этап 6.2

Добавим $2$ и $5$ .

$\frac{7 + \sqrt{10} + \sqrt{10}}{- 3}$

Этап 6.3

Добавим $\sqrt{10}$ и $\sqrt{10}$ .

$\frac{7 + 2 \sqrt{10}}{- 3}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{7 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Десятичная форма:

$- 4.44151844 \dots$